108. Точка E является точкой отрезка TR, который не пересекает плоскость γ. Параллельные прямые, проведённые через точки T, R, E, пересекают плоскость γ в точках T₁, R₁, E₁ соответственно. Докажите, что точки T₁, R₁, E₁ лежат на одной прямой, и найдите отрезок EE₁, учитывая, что TT₁ = 27 см, RR₁ = 15 см, TE : RE = 1 : 3.

Дано:

$E\in TR.$

$TR\cap\gamma=\varnothing.$

$TT_1\parallel EE_1\parallel RR_1.$

$T_1,E_1,R_1\in\gamma.$

$TT_1=27\text{ см}.$

$RR_1=15\text{ см}.$

$$TE:ER=1:3.$$

Найти:

$$EE_1$$ — ?

Решение:

В отметках отношений на чертеже $$k$$ — общий множитель длин.

а) Параллельные прямые $$TT_1$$ и $$RR_1$$ задают плоскость $\beta$ , содержащую $$TR$$ . Через точку $E\in TR$ проходит единственная прямая, параллельная $$TT_1$$ ; она также лежит в $\beta$ . Значит, $$T_1,E_1,R_1$$ принадлежат одновременно $\beta$ и $\gamma$ , то есть лежат на прямой $a=\beta\cap\gamma$ .

б) Через $$R$$ проведём $RH\parallel R_1T_1$ , где $H\in TT_1$ . Пусть $O=EE_1\cap RH$ . Четырёхугольники $$T_1R_1RH$$ и $$E_1R_1RO$$ — параллелограммы: у каждого обе пары противоположных сторон параллельны. Поэтому $$HT_1=OE_1=RR_1=15$$ см и

\[TH=TT_1-HT_1.\]

TH=27-15=12\text{ см}.

Из подобия $\triangle ROE$ и $\triangle RHT$ , поскольку $EO\parallel TH$ , получаем

\dfrac{EO}{TH}=\dfrac{RE}{RT}=\dfrac34,

EO=9\text{ см}.

\[EE_1=EO+OE_1.\]

EE_1=9+15=24\text{ см}.

Ответ: а) лежат на одной прямой; б) $$24$$ см.