40. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого: а) равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью одной из боковых граней и угол в 45° с боковым ребром; б) составляет угол α с плоскостью одной из боковых граней и угол β с плоскостью основания, а его высота равна h.

а) Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1,ABCDA_1B_1C_1D_1, в котором диагональ B1D=18 см.B_1D=18\,см.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Обозначим на рисунке заданные углы ∠B1DC1=30°\angle B_1DC_1=30° и ∠BB1D=45°,\angle BB_1D=45°, применяя определение угла между прямой и плоскостью:

С прямоугольного ΔDBB1,\Delta DBB_1, применяя соотношения между его сторонами, получаем:

BB1=B1Dcos⁡∠BB1D=18⋅cos⁡45°=92 (см);BB_1=B_1D\cos \angle BB_1D=18\cdot \cos 45°=9\sqrt{2}\,(см);

BD=B1Dsin⁡∠BB1D=18⋅sin⁡45°=92 (см).BD=B_1D\sin \angle BB_1D=18\cdot \sin 45°=9\sqrt{2}\,(см).

С прямоугольного ΔB1C1D,\Delta B_1C_1D, применяя соотношения между его сторонами, получаем:

B1C1=B1Dsin⁡∠B1DC1=18⋅sin⁡30°=18⋅12=9 (см).B_1C_1=B_1D\sin\angle B_1DC_1=18\cdot \sin 30°=18\cdot \dfrac{1}{2}=9\,(см).

В прямоугольном параллелепипеде стороны BCBC и B1C1B_1C_1 равны:

BC=B1C1=9 (см).BC=B_1C_1=9\,(см).

С прямоугольного ΔBCD,\Delta BCD, учитывая теорему Пифагора, получаем:

CD=BD2−BC2=(92)2−92=9 (см).CD=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{(9\sqrt{2})^2 -9^2}=9\,(см).

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

V=CD⋅BC⋅BB1;V=CD\cdot BC\cdot BB_1;

V=9⋅9⋅92=7292 (см3).V=9\cdot 9\cdot 9\sqrt{2}=729\sqrt{2}\,(см^3).

б) Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1,ABCDA_1B_1C_1D_1, в котором высота BB1=h.BB_1=h.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Обозначим на рисунке заданные углы ∠B1DC1=α\angle B_1DC_1=\alpha и ∠BDB1=β,\angle BDB_1=\beta, применяя определение угла между прямой и плоскостью.

С прямоугольного ΔBDB1,\Delta BDB_1, применяя соотношения между его сторонами, получаем:

B1D=BB1sin⁡∠BDB1=hsin⁡β;B_1D=\dfrac{BB_1}{\sin\angle BDB_1}=\dfrac{h}{\sin\beta};

BD=BB1tg⁡∠BDB1=htg⁡β.BD=\dfrac{BB_1}{\tg\angle BDB_1}=\dfrac{h}{\tg\beta}.

С прямоугольного ΔB1C1D,\Delta B_1C_1D, применяя соотношения между его сторонами, получаем:

B1C1=B1Dsin⁡∠B1DC1=hsin⁡β⋅sin⁡α.B_1C_1=B_1D\sin\angle B_1DC_1=\dfrac{h}{\sin\beta}\cdot\sin\alpha.

В прямоугольном параллелепипеде стороны BCBC и B1C1B_1C_1 равны:

BC=B1C1=hsin⁡αsin⁡β.BC=B_1C_1=\dfrac{h\sin\alpha}{\sin\beta}.

С прямоугольного ΔBCD,\Delta BCD, учитывая теорему Пифагора, получаем:

CD=BD2−BC2=(htg⁡β)2−(hsin⁡αsin⁡β)2=hsin⁡βcos⁡2β−sin⁡2α.CD=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{\left( \dfrac{h}{\tg\beta}\right)^2-\left( \dfrac{h\sin\alpha}{\sin\beta}\right)^2}=\dfrac{h}{\sin\beta}\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

V=CD⋅BC⋅BB1=hsin⁡βcos⁡2β−sin⁡2α⋅hsin⁡αsin⁡β⋅h=h3sin⁡αsin⁡2βcos⁡2β−sin⁡2α.V=CD\cdot BC\cdot BB_1=\dfrac{h}{\sin\beta}\sqrt{\cos^2\beta -\sin^2\alpha}\cdot \dfrac{h\sin\alpha}{\sin\beta}\cdot h=\dfrac{h^3\sin\alpha}{\sin^2\beta}\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}.

Ответ: а) 7292 см3;729\sqrt{2}\,см^3; б) h3sin⁡αsin⁡2βcos⁡2β−sin⁡2α.\dfrac{h^3\sin\alpha}{\sin^2\beta}\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}.