32. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с плоскостью основания угол φ, а с меньшей боковой гранью — угол α. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.

Рассмотрим прямой параллелепипед ABCDA1B1C1D1.ABCDA_1B_1C_1D_1.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Обозначим на рисунке заданные углы φ\varphi и α,\alpha, применяя определение угла между прямой и плоскостью.

С прямоугольного ΔBDB1,\Delta BDB_1, применяя соотношения между его сторонами, получаем:

BB1=dsin⁡φ;BB_1=d\sin\varphi;

BD=dcos⁡φ.BD=d\cos\varphi.

С прямоугольного ΔB1C1D,\Delta B_1C_1D, применяя соотношения между его сторонами, получаем:

B1C1=dsin⁡α.B_1C_1=d\sin\alpha.

В прямоугольном параллелепипеде стороны BCBC и B1C1B_1C_1 равны:

BC=B1C1=dsin⁡α.BC=B_1C_1=d\sin\alpha.

С прямоугольного ΔBCD,\Delta BCD, учитывая теорему Пифагора, получаем:

CD=BD2−BC2=(dcos⁡φ)2−(dsin⁡α)2=dcos⁡2φ−sin⁡2α.CD=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{(d\cos\varphi)^2-(d\sin\alpha)^2}=d\sqrt{\cos^2\varphi - \sin^2\alpha}.

Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда равна произведению периметра основания на боковое ребро:

Sбок=2(BC+CD)⋅BB1;S_{бок}=2(BC+CD)\cdot BB_1;

Sбок=2⋅(dsin⁡α+dcos⁡2φ−sin⁡2α)⋅dsin⁡α=2d2sin⁡α⋅(sin⁡α+cos⁡2φ−sin⁡2α).S_{бок}=2\cdot (d\sin\alpha+d\sqrt{\cos^2\varphi - \sin^2\alpha})\cdot d\sin\alpha=2d^2\sin\alpha\cdot (\sin\alpha+\sqrt{\cos^2\varphi-\sin^2\alpha}).

Ответ: 2d2sin⁡α⋅(sin⁡α+cos⁡2φ−sin⁡2α).2d^2\sin\alpha\cdot (\sin\alpha+\sqrt{\cos^2\varphi-\sin^2\alpha}).