31. Найдите боковую поверхность призмы, у которой основанием является ромб со стороной 10 см и углом в 60° и: а) боковые грани — прямоугольники, меньшая диагональ составляет с основанием угол в 45°; б) все грани — равные ромбы.

а) Поскольку все грани призмы — прямоугольники, то это прямая призма. Учитывая, что в основании лежит ромб, получаем прямой параллелепипед ABCDA1B1C1D1.ABCDA_1B_1C_1D_1.

С ΔABD\Delta ABD по теореме косинусов найдём сторону BD:BD:

BD=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos⁡∠BAD;BD=\sqrt{AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot \cos\angle BAD};

BD=102+102−2⋅10⋅10⋅cos⁡60°=10 (см).BD=\sqrt{10^2+10^2-2\cdot 10\cdot 10\cdot \cos 60°}=10\,(см).

С прямоугольного ΔB1BD\Delta B_1BD найдём BB1BB_1 — боковое ребро параллелепипеда:

BB1=BD⋅tg⁡∠BDB1=10⋅tg⁡45°=10 (см).BB_1=BD\cdot \tg\angle BDB_1=10\cdot \tg 45°=10\,(см).

Боковая поверхность прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на боковое ребро:

Sбок=2(AB+AD)⋅BB1=2⋅(10+10)⋅10=400 (см2).S_{бок}=2(AB+AD)\cdot BB_1=2\cdot (10+10)\cdot 10=400\,(см^2).

Найдём объём заданного прямого параллелепипеда по формуле:

V=Sосн⋅BB1=AB⋅AD⋅sin⁡∠BAD⋅BB1;V=S_{осн}\cdot BB_1=AB\cdot AD\cdot \sin\angle BAD\cdot BB_1;

V=10⋅10⋅sin⁡60°⋅10=1000⋅32=5003 (см3).V=10\cdot 10\cdot \sin 60°\cdot 10=1000\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=500\sqrt{3}\,(см^3).

б) Рассмотрим призму ABCDA1B1C1D1,ABCDA_1B_1C_1D_1, у которой все грани — равные ромбы. 

Поскольку все грани призмы равные ромбы, то боковая поверхность призмы будет равна:

Sбок=4⋅SABCD=4⋅AB⋅AD⋅sin⁡∠BAD;S_{бок}=4\cdot S_{ABCD}=4\cdot AB\cdot AD\cdot \sin\angle BAD;

Sбок=4⋅10⋅10⋅sin⁡60°=400⋅32=2003 (см2).S_{бок}=4\cdot 10\cdot 10\cdot \sin 60°=400\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}\,(см^2).

Полная поверхность призмы:

Sпол=6⋅SABCD=6⋅AB⋅AD⋅sin⁡∠BAD;S_{пол}=6\cdot S_{ABCD}=6\cdot AB\cdot AD\cdot \sin\angle BAD;

Sпол=6⋅10⋅10⋅sin⁡60°=600⋅32=3003 (см2).S_{пол}=6\cdot 10\cdot 10\cdot \sin 60°=600\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=300\sqrt{3}\,(см^2).

Объём призмы вычисляется по формуле:

V=Sосн⋅h.V=S_{осн}\cdot h.

Найдём площадь основания:

Sосн=SABCD=AB⋅AD⋅sin⁡∠BAD;S_{осн}=S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot \sin\angle BAD;

Sосн=10⋅10⋅sin⁡60°=100⋅32=503 (см2).S_{осн}=10\cdot 10\cdot \sin 60°=100\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}\,(см^2).

Поскольку острый угол заданных ромбов по условию равен 60°, то ΔABD\Delta ABD — равносторонний и меньшие диагонали ромбов равны его стороне, поэтому ABDA1ABDA_1 — треугольная пирамида. Следовательно, высота данной призмы hh равна высоте этой пирамиды. Высота пирамиды проектируется в точку пересечения медиан. С прямоугольного ΔAOD\Delta AOD найдём медиану OA,OA, учитывая, что OD=12BD=12⋅10=5 (см)OD=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}\cdot 10=5\,(см) и ∠AOD=90°\angle AOD=90° (по теореме о медиане равнобедренного треугольника):

AO=AD2−OD2=102−52=75=53 (см).AO=\sqrt{AD^2-OD^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\,(см).

Учитывая, что медианы точкой пересечения NN делятся в отношении 1:2,1:2, начиная с вершины, находим AN:AN:

AN=23AO=23⋅53=103 (см).AN=\dfrac{2}{3}AO=\dfrac{2}{3}\cdot 5\sqrt{3}=\dfrac{10}{\sqrt{3}}\,(см).

Тогда с прямоугольного ΔANA1\Delta ANA_1 находим hh — высоту параллелепипеда, применяя теорему Пифагора:

h=A1N=AA12−AN2;h=A_1N=\sqrt{AA_1^2-AN^2};

h=102−(103)2=101−13=1023 (см).h=\sqrt{10^2-\left(\dfrac{10}{\sqrt{3}}\right)^2}=10\sqrt{1-\dfrac{1}{3}}=10\sqrt{\dfrac{2}{3}}\,(см).

Вычисляем объём призмы:

V=Sосн⋅h=503⋅1023=5002 (см3).V=S_{осн}\cdot h=50\sqrt{3}\cdot 10\sqrt{\dfrac{2}{3}}=500\sqrt{2}\,(см^3).

Ответ: а) 400 см2,5003 см3;400\,см^2, 500\sqrt{3}\,см^3; б) 3003 см2,5002 см3.300\sqrt{3}\,см^2, 500\sqrt{2}\,см^3.