30. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 м и 9 м, а его диагонали составляют с плоскостью основания углы в 45° и 60°. Найдите диагонали параллелепипеда, его боковую поверхность.

Рассмотрим прямой параллелепипед ABCDA1B1C1D1.ABCDA_1B_1C_1D_1. Обозначим меньший угол основания параллелепипеда через ∠BAD=α.\angle BAD=\alpha. Тогда ∠ABC=180°−α.\angle ABC=180°-\alpha. С ΔABD\Delta ABD по теореме косинусов найдём сторону BD:BD:

BD=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos⁡∠BAD;BD=\sqrt{AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot \cos\angle BAD};

BD=32+92−2⋅3⋅9⋅cos⁡α=310−6cos⁡α.BD=\sqrt{3^2+9^2-2\cdot 3\cdot 9\cdot \cos\alpha}=3\sqrt{10-6\cos\alpha}.

С прямоугольного ΔB1BD\Delta B_1BD найдём BB1BB_1 — боковое ребро параллелепипеда:

BB1=BD⋅tg⁡∠BDB1;BB_1=BD\cdot \tg\angle BDB_1;

BB1=310−6cos⁡α⋅tg⁡60°=33⋅10−6cos⁡α.BB_1=3\sqrt{10-6\cos\alpha}\cdot \tg 60°=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{10-6\cos\alpha}.

С ΔABC\Delta ABC по теореме косинусов найдём сторону AC:AC:

AC=AB2+DC2−2AB⋅DC⋅cos⁡∠BAC;AC=\sqrt{AB^2+DC^2-2AB\cdot DC\cdot \cos\angle BAC};

AC=32+92−2⋅3⋅9⋅cos⁡(180°−α)=310+6cos⁡α.AC=\sqrt{3^2+9^2-2\cdot 3\cdot 9\cdot \cos(180°-\alpha)}=3\sqrt{10+6\cos\alpha}.

С прямоугольного ΔC1CA\Delta C_1CA найдём CC1CC_1 — боковое ребро параллелепипеда:

CC1=AC⋅tg⁡∠CAC1;CC_1=AC\cdot \tg\angle CAC_1;

CC1=310+6cos⁡α⋅tg⁡45°=3⋅10+6cos⁡α.CC_1=3\sqrt{10+6\cos\alpha}\cdot \tg 45°=3\cdot\sqrt{10+6\cos\alpha}.

Учитывая, что боковые рёбра прямого параллелепипеда равны BB1=CC1,BB_1=CC_1, находим cos⁡α:\cos\alpha:

BB1=CC1;BB_1=CC_1;

33⋅10−6cos⁡α=3⋅10+6cos⁡α;3\sqrt{3}\cdot \sqrt{10-6\cos\alpha}=3\cdot \sqrt{10+6\cos\alpha};

3⋅10−6cos⁡α=10+6cos⁡α;\sqrt{3}\cdot \sqrt{10-6\cos\alpha}=\sqrt{10+6\cos\alpha};

30−18cos⁡α=10+6cos⁡α;30-18\cos\alpha=10+6\cos\alpha;

24cos⁡α=20;24\cos\alpha =20;

cos⁡α=2024=56.\cos\alpha =\dfrac{20}{24}=\dfrac{5}{6}.

Тогда боковые рёбра прямого параллелепипеда:

CC1=3⋅10+6cos⁡α=3⋅10+6⋅56=315 (м).CC_1=3\cdot \sqrt{10+6\cos\alpha}=3\cdot \sqrt{10+6\cdot\dfrac{5}{6}}=3\sqrt{15}\,(м).

С прямоугольного ΔC1CA\Delta C_1CA найдём AC1AC_1 — большую диагональ прямого параллелепипеда:

AC1=CC1sin⁡∠CAC1=315sin⁡45°=31512=330 (м).AC_1=\dfrac{CC_1}{\sin\angle CAC_1}=\dfrac{3\sqrt{15}}{\sin 45°}=\dfrac{3\sqrt{15}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=3\sqrt{30}\,(м).

С прямоугольного ΔB1BD\Delta B_1BD найдём DB1DB_1 — меньшую диагональ прямого параллелепипеда:

DB1=BB1sin⁡∠BDB1=315sin⁡60°=31532=65 (м).DB_1=\dfrac{BB_1}{\sin\angle BDB_1}=\dfrac{3\sqrt{15}}{\sin 60°}=\dfrac{3\sqrt{15}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=6\sqrt{5}\,(м).

Боковая поверхность прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на боковое ребро:

Sбок=2(AB+AD)⋅BB1=2⋅(3+9)⋅3=7215 (м2).S_{бок}=2(AB+AD)\cdot BB_1=2\cdot(3+9)\cdot 3=72\sqrt{15}\,(м^2).

Найдём объём заданного прямого параллелепипеда по формуле:

V=Sосн⋅BB1⋅AD⋅sin⁡∠BAD⋅BB1=AB⋅AD⋅BB1⋅1−cos⁡2α;V=S_{осн}\cdot BB_1\cdot AD\cdot\sin\angle BAD\cdot BB_1=AB\cdot AD\cdot BB_1\cdot \sqrt{1-\cos^2\alpha};

V=3⋅9⋅315⋅1−(56)2=8115⋅1136=13.5165 (м3).V=3\cdot 9\cdot 3\sqrt{15}\cdot \sqrt{1-\left( \dfrac{5}{6}\right)^2}=81\sqrt{15}\cdot \sqrt{\dfrac{11}{36}}=13.5\sqrt{165}\,(м^3).

Ответ: 330 м,65 м,7215 м2,13.5165 м3.3\sqrt{30}\,м, 6\sqrt{5}\,м,72\sqrt{15}\,м^2, 13.5\sqrt{165}\,м^3.