28. Найдите полную поверхность и объем прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что: а) его диагональ равна 81 см, а измерения относятся как 2 : 7 : 26; б) диагонали его граней равны 7 см, 8 см и 9 см; в) его диагональ длиной 12 см составляет с одной боковой гранью угол в 30°, а с другой — угол в 45°; г) сторона его основания длиной a составляет с диагональю основания угол α, а с диагональю боковой грани, в которой эта сторона лежит, — угол β; д) диагональ прямоугольного параллелепипеда равна l и составляет с одной боковой гранью угол в 30°, а с другой — угол в 45°.

a) Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.ABCDA_1B_1C_1D_1.

Пусть a=AD=2k,b=CD=7k,c=AA1=26ka=AD=2k, b=CD=7k, c=AA_1=26k — измерения параллелепипеда, где kk — коэффициент пропорциональности.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда будет равна:

CA1=a2+b2+c2;CA_1=\sqrt{a^2+b^2+c^2};

CA1=(2k)2+(7k)2+(26k)2;CA_1=\sqrt{(2k)^2+(7k)^2+(26k)^2};

CA1=k⋅22+72+262;CA_1=k\cdot \sqrt{2^2+7^2+26^2};

CA1=k⋅27;CA_1=k\cdot 27;

k=CA127=8127=3.k=\dfrac{CA_1}{27}=\dfrac{81}{27}=3.

Тогда:

a=AD=2⋅3=6 (см);a=AD=2\cdot 3=6\,(см);

b=CD=7⋅3=21 (см);b=CD=7\cdot 3=21\,(см);

c=AA1=26⋅3=78 (см).c=AA_1=26\cdot 3=78\,(см).

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

Sпол=2Sосн+Sбок;S_{пол}=2S_{осн}+S_{бок};

Sосн=AD⋅CD=6⋅21=126 (см2);S_{осн}=AD\cdot CD=6\cdot 21=126\,(см^2);

Sбок=2(AD+CD)⋅AA1=2⋅(6+21)⋅78=4212 (см2).S_{бок}=2(AD+CD)\cdot AA_1=2\cdot (6+21)\cdot 78=4212\,(см^2).

Тогда:

Sпол=2⋅126+4212=4464 (см2).S_{пол}=2\cdot 126+4212=4464\,(см^2).

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

V=abc=6⋅21⋅78=9828 (см3).V=abc=6\cdot 21\cdot 78=9828\,(см^3).

б) Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.ABCDA_1B_1C_1D_1. По условию задачи диагонали его граней равны AC=7 см,CD1=8 смAC=7\,см, CD_1=8\,см и AD1=9 см.AD_1=9\,см.

Пусть a=AD,b=CD,c=AA1a=AD, b=CD, c=AA_1 — измерения параллелепипеда.

Поскольку все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, то квадраты их диагонали, исходя из теоремы Пифагора, вычисляются по формулам:

AC2=a2+b2;AC^2=a^2+b^2;

AD12=a2+c2;AD^2_1=a^2+c^2;

CD12=b2+c2.CD_1^2=b^2+c^2.

После сложения этих уравнений, получаем:

AC2+AD12+CD12=a2+b2+a2+c2+b2+c2;AC^2+AD^2_1+CD^2_1=a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2;

AC2=12(AC2+AD12+CD12)=12⋅(72+92+82)=97 (см2),AC^2=\dfrac{1}{2}(AC^2+AD_1^2+CD_1^2)=\dfrac{1}{2}\cdot (7^2+9^2+8^2)=97\,(см^2),

где dd — диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Тогда по теореме Пифагора находим стороны прямоугольного параллелепипеда.

С прямоугольного ΔCAA1,\Delta CAA_1, учитывая теорему Пифагора, получаем:

c=AA1=d2−AC2=97−72=48=43 (см).c=AA_1=\sqrt{d^2-AC^2}=\sqrt{97-7^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\,(см).

Аналогично с прямоугольного ΔCD1A1:\Delta CD_1A_1:

a=A1D1=d2−CD12=97−82=33 (см).a=A_1D_1=\sqrt{d^2-CD_1^2}=\sqrt{97-8^2}=\sqrt{33}\,(см).

С прямоугольного ΔCD1A1:\Delta CD_1A_1:

b=AC2−AD2=72−332=4 (см).b=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{7^2-\sqrt{33}^2}=4\,(см).

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

Sпол=2Sосн+Sбок;S_{пол}=2S_{осн}+S_{бок};

Sосн=a⋅b=33⋅4=433 (см2);S_{осн}=a\cdot b=\sqrt{33}\cdot 4=4\sqrt{33}\,(см^2);

Sбок=2(a+b)⋅c=2⋅(33+4)⋅43=83⋅(33+4) (см2).S_{бок}=2(a+b)\cdot c=2\cdot (\sqrt{33}+4)\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\cdot (\sqrt{33}+4)\,(см^2).

Тогда:

Sпол=2⋅433+83⋅(33+4)=323+2411+833 (см2).S_{пол}=2\cdot 4\sqrt{33}+8\sqrt{3}\cdot (\sqrt{33}+4)=32\sqrt{3}+24\sqrt{11}+8\sqrt{33}\,(см^2).

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

V=abc=33⋅4⋅43=4811 (см3).V=abc=\sqrt{33}\cdot 4\cdot 4\sqrt{3}=48\sqrt{11}\,(см^3).

в) Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.ABCDA_1B_1C_1D_1. По условию задачи его диагональ длиной 12 см составляет с одной боковой гранью угол в 30°, а с другой — угол в 45°.

С прямоугольного ΔCAA1,\Delta CAA_1, по определению синуса, получаем:

sin⁡∠ACA1=AA1A1C;\sin \angle ACA_1=\dfrac{AA_1}{A_1C};

AA1=c=A1C⋅sin⁡∠ACA1=12⋅sin⁡45°=12⋅22=62 (см).AA_1=c=A_1C\cdot \sin \angle ACA_1=12\cdot \sin 45° =12\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\,(см).

С этого же треугольника по определению косинуса, имеем:

cos⁡∠ACA1=ACA1C;\cos \angle ACA_1=\dfrac{AC}{A_1C};

AC=A1C⋅cos⁡∠ACA1=12⋅cos⁡45°=12⋅22=62 (см).AC=A_1C\cdot \cos \angle ACA_1= 12\cdot \cos 45° = 12\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\,(см).

С прямоугольного ΔCD1A1,\Delta CD_1A_1, по определению синуса, получаем:

sin⁡∠D1CA1=A1D1A1C;\sin \angle D_1CA_1=\dfrac{A_1D_1}{A_1C};

A1D1=a=A1Csin⁡⋅∠D1CA1=12⋅sin⁡30°=6 (см).A_1D_1=a=A_1C\sin \cdot \angle D_1CA_1=12\cdot \sin 30°=6\,(см).

С прямоугольного ΔADC,\Delta ADC, учитывая теорему Пифагора, получаем:

DC=b=AC2−AD2=AC2−a2=(62)2−62=6 (см).DC=b=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{AC^2-a^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2-6^2}=6\,(см).

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

Sпол=2Sосн+Sбок;S_{пол}=2S_{осн}+S_{бок};

Sосн=a⋅b=6⋅6=36 (см2);S_{осн}=a\cdot b=6\cdot 6=36\,(см^2);

Sбок=2⋅36+1442=72+1442=72(1+22) (см2).S_{бок}=2\cdot 36+144\sqrt{2}=72+144\sqrt{2}=72(1+2\sqrt{2})\,(см^2).

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

V=abc=6⋅6⋅62=2162 (см2).V=abc=6\cdot 6\cdot 6\sqrt{2}=216\sqrt{2}\,(см^2).

г) Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.ABCDA_1B_1C_1D_1. По условию задачи сторона его основания длиной aa составляет с диагональю основания угол α,α, а с диагональю боковой грани, в которой эта сторона лежит, — угол β.β.

С прямоугольного ΔDAA1,\Delta DAA_1, по определению тангенса, получаем:

tg⁡∠ADA1=AA1AD;\tg \angle ADA_1=\dfrac{AA_1}{AD};

AA1=c=AD⋅tg⁡∠ADA1=a⋅tg⁡β.AA_1=c=AD\cdot \tg \angle ADA_1=a\cdot \tg \beta.

С прямоугольного ΔBAD,\Delta BAD, по определению тангенса, получаем:

tg⁡∠BAD=ABAD;\tg \angle BAD =\dfrac{AB}{AD};

AB=b=AD⋅tg⁡∠BAD=a⋅tg⁡α.AB=b=AD\cdot \tg \angle BAD =a\cdot \tg \alpha.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

Sпол=2Sосн+Sбок;S_{пол}=2S_{осн}+S_{бок};

Sосн=a⋅a⋅tg⁡α=a2tg⁡α;S_{осн}=a\cdot a\cdot \tg \alpha =a^2\tg\alpha;

Sбок=2(a+b)⋅=2⋅(a+a⋅tgα)⋅a⋅th⁡β=2a2tg⁡β(1+tg⁡α).S_{бок}=2(a+b)\cdot =2\cdot (a+a\cdot tg\alpha)\cdot a\cdot \th\beta =2a^2\tg\beta (1+\tg\alpha).

Тогда:

Sпол=2⋅a2tg⁡α+2a2tg⁡β(1+tg⁡α)=2a2(tg⁡α+tg⁡β+tg⁡αtg⁡β).S_{пол}=2\cdot a^2\tg\alpha +2a^2\tg\beta(1+\tg\alpha)=2a^2(\tg\alpha + \tg\beta +\tg\alpha\tg\beta).

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

V=abc=a⋅a⋅tg⁡α⋅a⋅tg⁡β=a3tg⁡αtg⁡β.V=abc=a\cdot a\cdot \tg\alpha \cdot a\cdot \tg\beta=a^3\tg\alpha\tg\beta.

д) Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.ABCDA_1B_1C_1D_1. По условию задачи его диагональ длиной ll составляет с одной боковой гранью угол в 30°, а с другой — угол в 45°.


С прямоугольного ΔCAA1,\Delta CAA_1, по определению синуса, получаем:

sin⁡∠ACA1=AA1A1C;\sin \angle ACA_1=\dfrac{AA_1}{A_1C};

AA1=c=A1C⋅sin⁡∠ACA1=l⋅sin⁡45°=l⋅12=l2.AA_1=c=A_1C\cdot \sin \angle ACA_1=l\cdot \sin 45°=l\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{l}{\sqrt{2}}.

С этого же треугольника по определению косинуса, имеем:

cos⁡∠ACA1=ACA1C;\cos \angle ACA_1=\dfrac{AC}{A_1C};

AC=A1C⋅cos⁡∠ACA1=l⋅cos⁡45°=l⋅12=l2.AC=A_1C\cdot \cos \angle ACA_1=l\cdot \cos 45°=l\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{l}{\sqrt{2}}.

С прямоугольного ΔCD1A1,\Delta CD_1A_1, по определению синуса, получаем:

sin⁡∠D1CA1=A1D1A1C;\sin\angle D_1CA_1=\dfrac{A_1D_1}{A_1C};

A1D1=a=A1C⋅sin⁡∠D1CA1=l⋅sin⁡30°=l2.A_1D_1=a=A_1C\cdot \sin \angle D_1CA_1=l\cdot \sin 30°=\dfrac{l}{2}.

С прямоугольного ΔABC,\Delta ABC, учитывая теорему Пифагора, получаем:

DC=b=AC2−AD2=AC2−a2;DC=b=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{AC^2-a^2};

DC=(l2)2−(l2)2=l12−14=l2.DC=\sqrt{\left( \dfrac{l}{\sqrt{2}}\right)^2-\left(\dfrac{l}{2}\right)^2}=l\sqrt{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{l}{2}.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

Sпол=2Sосн+Sбок;S_{пол}=2S_{осн}+S_{бок};

Sосн=l2⋅l2=l24;S_{осн}=\dfrac{l}{2}\cdot \dfrac{l}{2}=\dfrac{l^2}{4};

Sбок=2(a+b)⋅c=2⋅(l2+l2)⋅l2=2l2 (см2).S_{бок}=2(a+b)\cdot c=2\cdot \left(\dfrac{l}{2}+\dfrac{l}{2}\right)\cdot \dfrac{l}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}l^2\,(см^2).

Тогда:

Sпол=2⋅l24+2l2=l22(1+22).S_{пол}=2\cdot \dfrac{l^2}{4}+\sqrt{2}l^2=\dfrac{l^2}{2}(1+2\sqrt{2}).

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

V=abc=l2⋅l2⋅l2=l328.V=abc=\dfrac{l}{2}\cdot \dfrac{l}{2}\cdot \dfrac{l}{\sqrt{2}}=\dfrac{l^3\sqrt{2}}{8}.

Ответ: а) 4464 см2,9828 см3;4464\, см^2, 9828\,см^3; б) 323+2411+833 см2,4811 см3;32\sqrt{3}+24\sqrt{11}+8\sqrt{33}\,см^2, 48\sqrt{11}\,см^3; в) 72(1+22) см2,2162 см3;72(1+2\sqrt{2})\,см^2, 216\sqrt{2}\,см^3; г) 2a2(tg⁡α+tg⁡β+tg⁡α⋅tg⁡β),a3tg⁡αtg⁡β;2a^2(\tg\alpha + \tg\beta+\tg\alpha\cdot \tg\beta), a^3\tg\alpha\tg\beta; д) l22(1+22),l328.\dfrac{l^2}{2}(1+2\sqrt{2}), \dfrac{l^3\sqrt{2}}{8}.