20. Основанием наклонной призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC = 13 см, BC = 10 см и боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины A1 на плоскость треугольника ABC является точка пересечения его медиан. Найдите площадь грани CC1B1B.

Решение:

Рассмотрим наклонную призму ABCA1B1C1.ABCA_1B_1C_1. Построим высоту призмы А1О.А_1О. По условию задачи OO — точка пересечения медиан ΔABC,\Delta ABC, а ΔABC\Delta ABC — равнобедренный, AB=AC=13 см.AB=AC=13\,см. По теореме о медиане равнобедренного треугольника CM=MB=CB2=102=5 (см)CM=MB=\dfrac{CB}{2}=\dfrac{10}{2}=5\,(см) и AM⊥CB.AM\perp CB.

С прямоугольного ΔAMC,\Delta AMC, используя теорему Пифагора, найдём медиану АМ:АМ:

AM=AC2−CM2=132−52=12 (см).AM=\sqrt{AC^2-CM^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\,(см).

Учитывая, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1,2:1, начиная с вершины, получаем:

AO=23AM=23⋅12=8 (см).AO=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}\cdot 12=8\,(см).

С прямоугольного ΔAOA1\Delta AOA_1 имеем:

AA1=AOsin⁡45°−812=82 (см).AA_1=\dfrac{AO}{\sin 45°}-\dfrac{8}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=8\sqrt{2}\,(см).

Поскольку AM⊥BCAM\perp BC и OMOM — проекция A1MA_1M на плоскость основания, то по обратной теореме о трёх перпендикулярах A1M⊥BC.A_1M\perp BC.

По теореме о перпендикулярности прямой и плоскости получаем: BC⊥(AA1M1M),BC\perp (AA_1M_1M), следовательно BC⊥AA1BC\perp AA_1 по определению прямой и плоскости.

Поскольку BC⊥AA1BC\perp AA_1 и AA1∥CC1∥BB1,AA_1\parallel CC_1\parallel BB_1, то BC⊥BB1BC\perp BB_1 и BC⊥CC1.BC\perp CC_1. Следовательно, CC1B1BCC_1B_1B — прямоугольник, в котором CC1=BB1−AA1−82 см.CC_1=BB_1-AA_1-8\sqrt{2}\,см.

Найдём площадь грани CC1B1B:CC_1B_1B:

SCC1B1B=CC1⋅CB=82⋅10=802 (см2).S_{CC_1B_1B}=CC_1\cdot CB=8\sqrt{2}\cdot 10=80\sqrt{2}\,(см^2).

Ответ: SCC1B1B=802 (см2).S_{CC_1B_1B}=80\sqrt{2}\,(см^2).