18. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 32 см, а боковое ребро — 24 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Решение:

Построим заданное сечение. С прямоугольного ΔCBB1\Delta CBB_1 по теореме Пифагора, получаем:

CB12=CB2+BB12;CB_1^2=CB^2+BB_1^2;

CB1=CB2+BB12=322+242=40 (см).CB_1=\sqrt{CB^2+BB_1^2}=\sqrt{32^2+24^2}=40\,(см).

ΔA1AC=ΔB1BC\Delta A_1AC=\Delta B_1BC по двум катетам, поэтому CA1=CB1=40 см.CA_1=CB_1=40\,см.

По формуле Герона найдём площадь построенного сечения:

SA1B1C=p(p−a)(p−b)(p−c),S_{A_1B_1C}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},

где p=CB1+CA1+A1B12=40+40+322=56 (см)p=\dfrac{CB_1+CA_1+A_1B_1}{2}=\dfrac{40+40+32}{2}=56\,(см) — полупериметр, a=CB1=40 см,a=CB_1=40\,см, b=CA1=40 см,b=CA_1=40\,см, c=A1B1=32 смc=A_1B_1=32\,см — стороны треугольника построенного сечения.

Тогда получаем:

SA1B1C=56⋅(56−40)(56−40)(56−32);S_{A_1B_1C}=\sqrt{56\cdot (56-40)(56-40)(56-32)};

SA1B1C=56⋅16⋅16⋅24;S_{A_1B_1C}=\sqrt{56\cdot 16\cdot 16\cdot 24};

SA1B1C=167⋅8⋅8⋅3=12821 (см2).S_{A_1B_1C}=16\sqrt{7\cdot 8\cdot 8\cdot 3}=128\sqrt{21}\,(см^2).

Ответ: 12821 см2.128\sqrt{21}\,см^2.