10. Найдите диагональ: а) куба, учитывая, что диагональ его боковой грани равна 6√2 см; б) прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что диагонали его граней равны 11 см, 19 см и 20 см.

Решение:

а) Рассмотрим рисунок. По условию задачи ${{A}_{1}}D=6\sqrt{2}\,\text{см}.$ Учитывая, что квадрат диагонали куба равен сумме квадратов трех его измерений, получаем:

${{A}_{1}}{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}=3^{2},{{A}_{1}C}=\sqrt{3}a.$

Поскольку боковая грань куба — квадрат, то диагональ боковой грани:

${{A}_{1}}D=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=\sqrt{2}a;$

$6\sqrt{2}=\sqrt{2}a;$

$a=6\,см.$

Тогда ${{A}_{1}C}=6\sqrt{3}\,см.$

Ответ: ${{A}_{1}C}=6\sqrt{3}\,см.$

б) Рассмотрим рисунок. По условию задачи $A_1D=11\,см, DC_1=19\,см,AC_1=20\,см.$ Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: $AD=a,DC=b,AA_1=c.$

Поскольку все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, то квадраты их диагонали вычисляются по формулам:

$A_1D^2=a^2+c^2;$

$A_1C_1^2=a^2+b^2;$

$DC_1^2=b^2+c^2.$

После сложения этих уравнений, получаем:

$A_1D^2+A_1C_1^2+DC_1^2=a^2+c^2+a^2+b^2+c^2;$

$A_1D^2+A_1C_1^2+DC_1^2=2(a^2+b^2+c^2);$

$a^2+b^2+c^2=\dfrac{1}{2}(A_1D^2+A_1C_1^2+DC_1^2).$

Учитывая, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, получаем:

$A_1C^2=a^2+b^2+c^2=\dfrac{1}{2}(A_1D^2+A_1C_1^2+DC_1^2);$

$A_1C=\sqrt{\dfrac{1}{2}(A_1D^2+A_1C_1^2+DC_1^2)};$

$A_1C=\sqrt{\dfrac{1}{2}\cdot (11^2+19^2+20^2)}=21\,(см).$

Ответ: $A_1C=21\,см.$