8. Верно ли, что у прямоугольного параллелепипеда: а) есть три оси симметрии; б) есть три плоскости симметрии; в) квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений; г) все четыре диагонали равны друг другу; д) с двумя равными измерениями есть пять плоскостей симметрии; е) с тремя равными измерениями есть девять плоскостей симметрии; ж) с тремя равными измерениями есть девять осей симметрии?

Если параллелепипед прямоугольный, то у него будет три оси симметрии. Это прямые, которые проходят через точки пересечения диагоналей противоположных граней.

Ось симметрии 1: прямая через центры противоположных граней. Центры определены диагоналями.

Ось симметрии 2: прямая через центры противоположных граней. Центры определены диагоналями.

Ось симметрии 3: прямая через центры противоположных граней. Центры определены диагоналями.

Утверждение а) верно.

Три плоскости перпендикулярные осям симметрии прямоугольного параллелепипеда, которые проходят через середины отрезков, соединяющих середины противоположных граней параллелепипеда, будут его плоскостями симметрии.

Средняя плоскость симметрии, параллельная основаниям. K, L, M, N — середины соответствующих рёбер.

Средняя плоскость симметрии, параллельная грани ADD₁A₁. K, L, M, N — середины соответствующих рёбер.

Средняя плоскость симметрии, параллельная грани ABB₁A₁. K, L, M, N — середины соответствующих рёбер.

Утверждение б) верно.

Рассмотрим прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (см. рис.). Введём обозначения измерений прямоугольного параллелепипеда $AD=a; DC=b; AA_1=c.$ С прямоугольного $\triangle ADC, \angle ADC=90°:$

$AC^2=AD^2+DC^2=a^2+b^2.$

Диагональ A₁C и её проекция AC на основание.

C прямоугольного $\triangle A_1AC, \angle A_1AC=90°:$

$A_1C^2=AC^2+AA_1^2=a^2+b^2+c^2.$

Утверждение в) верно.

Учитывая равенство треугольников $\triangle A_1AC=\triangle B_1BD=\triangle C_1CA=\triangle D_1DB$ (по двум сторонами углу между ними), можно утверждать, что четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны друг другу.

Утверждение г) верно.

Если 2 измерения прямоугольного параллелепипеда равны, то кроме трёх существующих осей симметрии добавляется ещё 2 плоскости, проходящие через диагонали квадратов (прямоугольников с равными измерениями).

Через другие диагонали квадратных оснований.

Утверждение д) верно.

Прямоугольный параллелепипед с тремя равными измерениями — куб. Куб имеет девять плоскостей симметрии. Три плоскости симметрии имеет любой прямоугольный параллелепипед и кроме трёх существующих осей симметрии добавляется ещё по 3 пары плоскостей, проходящих через диагонали противоположных граней.

Дополнительная диагональная плоскость куба.

Утверждение е) верно.

Ось симметрии куба может проходить либо через середины параллельных ребер, не принадлежащих одной грани, либо через точку пересечения диагоналей противоположных граней. Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей. Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии.

O — пересечение четырёх диагоналей и центр симметрии куба. Все девять осей проходят через O.

Две оси симметрии куба через середины противоположных рёбер. Всего таких осей шесть; ещё три проходят через центры граней.

Утверждение ж) верно.

Ответ: а) верно; б) верно; в) верно; а) верно; г) верно; д) верно; е) верно; ж) верно.