6. Свет с длинами волн от λ_1 = 400 нм до λ_2 = 780 нм падает нормально на дифракционную решетку. В каких порядках может произойти перекрытие максимумов и минимумов? Зависит ли ответ от ширины щели?

Дано:

λ1=400 нм=4⋅10−7 м;\lambda_1=400\,нм=4\cdot 10^{-7}\,м;

λ2=780 нм=7.8⋅10−7 м.\lambda_2=780\,нм=7.8\cdot 10^{-7}\,м.

Найти:

k−?k-?

Решение:

Перекрытие может произойти, если угол дифракции на максимум kk-го порядка для длины волны λ2λ_2 будет больше угла дифракции на минимум (k+1)(k+1)-го порядка для длины волны λ1.λ_1. Так как в первой четверти с ростом угла его синус увеличивается, то описанное выше условие можно представить в виде:

kλ2d>((k+1)+12)⋅λ1d;\dfrac{k\lambda_2}{d}>\dfrac{\left( (k+1)+\dfrac{1}{2}\right)\cdot \lambda_1}{d};

kλ2>(k+32)⋅λ1;k\lambda_2>\left( k+\dfrac{3}{2}\right)\cdot\lambda_1;

k(λ2−λ1)>1.5λ1;k(\lambda_2-\lambda_1)>1.5\lambda_1;

k>1.5λ1λ2−λ1=1.5⋅400780−400≈1.58.k>\dfrac{1.5\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}=\dfrac{1.5\cdot 400}{780-400}\approx 1.58.

Таким образом, перекрытие возможно во втором порядке. Так как ни в одно выражение ширина щели не входила, то ответ не будет от нее зависеть.

Ответ: Во втором порядке. Не зависит.