5. Монохроматический свет падает нормально на дифракционную решетку. Дифракционный максимум первого порядка наблюдается под углом θ = 12°. Сколько других порядков m может наблюдаться и под какими углами?

Дано:

k1=1;k_1=1;

θ1=12°.\theta_1=12°.

Найти:

m−?m-?

θ−?\theta-?

Решение:

По формуле дифракционной решетки:

d⋅sin⁡θ=kλ,d\cdot \sin\theta=k\lambda,

где dd — период решетки, θθ — угол дифракции, kk — порядок дифракционного максимума, λλ — длина световой волны.

Количество порядков, которые может дать решетка, равно:

kmax=[dλ].k_{\mathrm{max}}=\left[ \dfrac{d}{\lambda}\right].

Для максимума первого порядка:

dsin⁡θ1=λ,d\sin \theta_1=\lambda,

откуда:

dλ=1sin⁡θ1.\dfrac{d}{\lambda}=\dfrac{1}{\sin \theta_1}.

Тогда:

kmax=[1sin⁡θ1]=[1sin⁡12°]=4.k_\mathrm{max}=\left[\dfrac{1}{\sin\theta_1}\right]=\left[\dfrac{1}{\sin 12°}\right]=4.

Следовательно, количество других порядков (кроме первого) равно:

m=kmax−1=3;m=k_\mathrm{max}-1=3;

k2=2;k3=3;k4=4.k_2=2;k_3=3;k_4=4.

Из формулы дифракционной решетки найдём:

θk=arcsin⁡(kλd)=arcsin⁡(k⋅sin⁡θ1);\theta_k=\arcsin\left(\dfrac{k\lambda}{d}\right)=\arcsin(k\cdot \sin\theta_1);

(k=2,3,4).(k=2,3,4).

Вычислим:

θ2=arcsin⁡(2⋅sin⁡12°)≈25°;\theta_2=\arcsin(2\cdot \sin 12°)\approx 25°;

θ3=arcsin⁡(3⋅sin⁡12°)≈39°;\theta_3=\arcsin(3\cdot \sin 12°)\approx 39°;

θ4=arcsin⁡(4⋅sin⁡12°)≈56°.\theta_4=\arcsin(4\cdot \sin 12°)\approx 56°.

Ответ: m=3;θ2=25°;θ3=39°;θ4=56°.m=3; \theta_2=25°; \theta_3=39°;\theta_4=56°.