3. Сколько штрихов N на 1 см должна иметь дифракционная решетка, если спектр второго порядка отсутствует в видимой области?

Дано:

k=2;k=2;

l=1 см=0.01 м;l=1\,см=0.01\,м;

λmin=400 нм=4⋅10−7 м;\lambda_{\mathrm{min}}=400\,нм=4\cdot 10^{-7}\,м;

λmax=780 нм=7.8⋅10−7 м.\lambda_{\mathrm{max}}=780\,нм=7.8\cdot 10^{-7}\,м.

Найти:

N−?N-?

Решение:

Чтобы спектр второго порядка в видимой области отсутствовал, необходимо, чтобы угол дифракции для нижней границы видимой области стал равен 90°. Тогда согласно формуле дифракционной решетки:

d⋅sin⁡90°=k⋅λmin.d\cdot \sin 90°=k\cdot \lambda_{\mathrm{min}}.

При этом поскольку λmax<kλmin,λ_{\mathrm{max}}<kλ_{\mathrm{min}}, спектр первого порядка будет присутствовать для всей видимой области.

Т.к.

d=lN,d=\dfrac{l}{N},

то:

lN⋅1=2⋅λmin,\dfrac{l}{N}\cdot 1=2\cdot \lambda_{\mathrm{min}},

откуда:

N=l2λmin.N=\dfrac{l}{2\lambda_{\mathrm{min}}}.

Вычислим:

N=0.012⋅4⋅10−7≈1.3⋅104.N=\dfrac{0.01}{2\cdot 4\cdot 10^{-7}}\approx 1.3\cdot 10^4.

Ответ: N=1.3⋅104.N=1.3\cdot 10^4.