8. Определите расстояние d_2 между обкладками плоского воздушного конденсатора, чтобы колебательный контур приемника был настроен на длину волны λ_2 = 120 м, если при расстоянии между ними d_1 = 3,6 мм приемник настроен на длину волны λ_1 = 150 м.

Дано:

λ1=150 м;\lambda_1=150\,м;

λ2=120 м;\lambda_2=120\,м;

d1=3.6 мм=3.6⋅10−3 м.d_1=3.6\,мм=3.6\cdot 10^{-3}\,м.

Найти:

d2−?d_2-?

Решение:

Длина волны:

λ=cT.\lambda=cT.

Период по формуле Томпсона:

T=2πLC.T=2\pi\sqrt{LC}.

Найдем отношение:

λ1λ2=c2πLC1c2πLC2=C1C2.\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}=\dfrac{c2\pi\sqrt{LC_1}}{c2\pi\sqrt{LC_2}}=\sqrt{\dfrac{C_1}{C_2}}.

Формула ёмкости конденсатора:

C=ε0εSd.C=\dfrac{ε_0εS}{d}.

Подставив в отношение λ1λ2\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2} определение CC, получим:

λ1λ2=ε0εSd1⋅d2ε0εS=d2d1.\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}=\sqrt{\dfrac{ε_0εS}{d1}\cdot \dfrac{d_2}{ε_0εS}}=\sqrt{\dfrac{d_2}{d_1}}.

Возведём выражение в квадрат и выразим d2:d_2:

(λ1λ2)2=d2d1;\left(\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^2=\dfrac{d_2}{d_1};

d2=d1(λ1λ2)2.d_2=d_1\left(\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^2.

Вычислим:

d2=3.6⋅10−3⋅(150120)2;d_2=3.6\cdot 10^{-3}\cdot \left(\dfrac{150}{120}\right)^2;

d2=5.625⋅10−3≈5.6 мм.d_2=5.625\cdot 10^{-3}\approx 5.6\,мм.

Ответ: d2=5.6 мм.d_2=5.6\,мм.