7. Имеются два колебательных контура. Один содержит конденсатор емкостью C_1 = 240 мФ и катушку индуктивностью L_1 = 10,0 мГн, второй — C_2 = 260 мФ и L_2 = 6,00 мГн. Настроены ли эти контуры в резонанс? Во сколько раз k необходимо изменить емкость C_2 или индуктивность L_2, чтобы настроить эти контуры в резонанс?

Дано:

$C_1=240\,мФ=0.24\,Ф;$

$L_1=10.0\,мГн=10\cdot 10.0^{-3}\,Гн;$

$C_2=260\,мФ=0.26\,Ф;$

$L_2=6.00\,мГн=6.00\cdot 10^{-3}\,Гн.$

Найти:

$T_1-?$

$T_2-?$

$k-?$

Решение:

Согласно формуле Томсона для периода свободных электромагнитных колебаний в колебательном контуре:

$T_1=2\pi\sqrt{L_1C_1},$

$T_2=2\pi\sqrt{L_2C_2}.$

Выполним расчет периодов колебаний в заданных контурах:

$T_1=6.28\sqrt{10\cdot 10^{-3}\cdot 0.24}\approx 0.307\,с;$

$T_2=6.28\sqrt{6\cdot 10^{-3}\cdot 0.26}\approx 0.248\,с.$

Т.к. $T_1\ne T_2,$ то контуры не настроены в резонанс. Для выполнения условия резонанса при одновременном изменении индуктивности катушки и ёмкости конденсатора нужно, чтобы:

$L_1C_1-L_2C_2=kL_2kC_2=k^2L_2C_2.$

Отсюда найдём $k:$

$k=\sqrt{\dfrac{L_1C_1}{L_2C_2}}=\sqrt{\dfrac{10\cdot 10^{-3}\cdot 0.24}{6\cdot 10^{-3}\cdot 0.26}}\approx 1.24.$

Ответ: контуры не настроены в резонанс; увеличить оба значения в 1.24 раза.

*Примечание. В условии задачи звучит вопрос «Во сколько раз $k$ необходимо изменить емкость $C_2$ или индуктивность $L_2$», который подразумевает, что изменить значения нужно не оба, а одно из них: либо $C_2,$ либо $L_2$. Однако при вычислении мы получаем ответ, который не совпадает с ответом в учебнике.

Если изменяется только одно значение, то условие резонанса выглядит так:

$L_1C_1=L_2C_2=kL_2C_2.$

Тогда $k$ равно:

$k=\dfrac{L_1C_1}{L_2C_2}=\dfrac{10\cdot 10^{-3}\cdot 0.24}{6\cdot 10^{-3}\cdot 0.26}\approx 1.54.$