6. Входной контур радиоприемника содержит катушку индуктивностью L = 0,32 мГн. В каких пределах должна изменяться емкость C конденсатора контура, чтобы радиоприемник мог принимать сигналы радиостанции, работающей в диапазоне частот от v_1 = 8.0 МГц до v_2 = 24 МГц?

Дано:

L=0.32 мГн=3.2⋅10−4 Гн;L=0.32\,мГн=3.2\cdot 10^{-4}\,Гн;

ν1=8.0 МГц=8.0⋅106 Гц;\nu_1=8.0\,МГц=8.0\cdot 10^6\,Гц;

ν2=24 МГц=24⋅106 Гц.\nu_2=24\,МГц=24\cdot 10^6\,Гц.

Найти:

C1−?C_1-?

C2−?C_2-?

Решение:

Согласно формуле Томсона для периода свободных электромагнитных колебаний в последовательном LCLC-контуре:

T=2πLC.T=2\pi\sqrt{LC}.

Частота колебаний равна:

ν=1T.\nu=\dfrac{1}{T}.

Вставим в формулу определение T:T:

ν=12πLC.\nu=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.

Возведём обе части равенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

ν2=14π2LC.\nu^2=\dfrac{1}{4\pi^2 LC}.

Найдём ёмкость конденсатора:

C=14π2ν2L.C=\dfrac{1}{4\pi^2\nu^2L}.

Значения ёмкости для заданного диапазона частот:

C1=14π2ν12L,C_1=\dfrac{1}{4\pi^2\nu_1^2 L},

C2=14π2ν22L.C_2=\dfrac{1}{4\pi^2\nu_2^2 L}.

Вычислим:

C1=142π2⋅82⋅1012⋅3.2⋅10−4;C_1=\dfrac{1}{4^2\pi^2\cdot 8^2\cdot 10^{12}\cdot 3.2\cdot 10^{-4}};

C1≈1.2⋅10−12 Ф≈1.2 пФ;C_1\approx 1.2\cdot 10^{-12}\,Ф\approx 1.2\,пФ;

C2=14⋅π2⋅242⋅1012⋅3.2⋅10−4;C_2=\dfrac{1}{4\cdot \pi^2\cdot 24^2\cdot 10^{12}\cdot 3.2\cdot 10^{-4}};

C2≈0.14⋅10−12 Ф≈0.14 пФ.C_2\approx 0.14\cdot 10^{-12}\,Ф\approx 0.14\, пФ.

Ответ: изменяется от 1.2 пФ1.2\,пФ до 0.14 пФ.0.14\,пФ.