4. Какой должна быть длина l математического маятника, подвешенного в вагоне, чтобы он раскачивался наиболее сильно при движении вагона со скоростью, модуль которой v = 67,5 км/ч? Расстояние между стыками рельсов L = 12,5 м.

Дано:

$v=67.5\,км/ч=18.75\,м/с;$

$L=12.5\,м.$

Найти:

$l-?$

Решение:

Математический маятник, находящийся в поезде, будет особенно сильно раскачиваться (т.е. будет происходить резонанс), когда внешнее воздействие на вагон, возникающее в результате тряски вагона при переезде через стык между рельсами, будет происходить с периодом, равным собственному периоду колебаний маятника. Время, за которое поезд пройдет расстояние между двумя соседними стыками, вычислим по формуле формуле:

$T=\dfrac{l}{v}.$

Период колебаний математического маятника найдём по формуле Гюйгенса:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}},$

где $l$ — длина маятника, $g=9.8\,м/с$ — ускорение свободного падения.

Приравняем формулы:

$\dfrac{L}{v}=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}.$

Найдём $l:$

$\left(\dfrac{L}{v}\right)^2=4\pi^2\dfrac{l}{g};$

$\dfrac{L^2}{v^2}=\dfrac{4\pi^2l}{g};$

$L^2g=4\pi^2lv^2;$

$l=\dfrac{L^2g}{4\pi^2v^2};$

$l=\dfrac{12.5^2\cdot 9.8}{4\cdot 3.14^2\cdot 18.75^2}=0.11\,м=11\,см.$

Ответ: $11\,см.$