6. Груз массой m = 100 г, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, закреплен на пружине жесткостью k = 100 Н/м , прикрепленной к опоре. Его смещают из положения равновесия на расстояние х_1 = 5,0 см и сообщают ему в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой v_1 = 1,0 м/с. Чему равны потенциальная W_п и кинетическая W_к энергия груза в этот момент времени? Запишите кинематический закон его движения.

Дано:

$m=100\,г=0.1\,кг;$

$k=100\,\dfrac{Н}{м};$

$x_1=5.0\,см=0.05\,м;$

$v_1=1.0\,\dfrac{м}{с}.$

Найти:

$W_п-?$

$W_к-?$

$x(t)-?$

Решение:

Потенциальная энергия груза в начальный момент времени вычисляется по формуле:

$W_п=\dfrac{kx^2_1}{2}.$

Вычислим:

$W_п=\dfrac{100\cdot 0.05^2}{2}=0.125\,Дж\approx 0.13\,Дж.$

Вычислим кинетическую энергию груза в начальный момент времени:

$W_к=\dfrac{mv^2_1}{2}.$

$W_к=\dfrac{0.1\cdot 1.0^2}{2}=0.05\,Дж=50\,мДж.$

По закону сохранения полной механической энергии найдём полную энергию колебаний груза на пружине:

$W=W_к+W_п.$

Полная энергия колебаний пружинного маятника равна максимальной потенциальной энергии колебаний:

$W=\dfrac{kA^2}{2}.$

Приравняем два последних уравнения и найдём амплитуду колебаний тела на пружине:

$\dfrac{kA^2}{2}=W_к+W_п;$

$A^2=\dfrac{2(W_к+W_п)}{k};$

$A=\sqrt{\dfrac{2(W_к+W_п)}{k}}.$

Подставим значения физических величин и вычислим амплитуду колебаний:

$A=\sqrt{\dfrac{2\cdot (0.05+0.125)}{100}}=0.06\,м=6\,см.$

Кинетический закон движения тела на пружине имеет вид:

$x(t)=A\sin(\omega t + \varphi_0),$

где $\omega =\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ — циклическая частота колебаний тела на пружине, $k$ — коэффициент упругости пружины, $m$ — масса груза, $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний.

Вычислим циклическую частоту колебаний:

$\omega=\sqrt{\dfrac{100}{0.1}}=32\,\dfrac{рад}{с}.$

Запишем кинетический закон движения тела на пружине для начального момента времени и вычислим начальную фазу колебаний:

$x_1=A\sin(\omega\cdot 0+\varphi_0);$

$\sin\varphi_0=\dfrac{x_1}{A};$

$\varphi_0=\arcsin\dfrac{0.05}{0.06}=56°.$

Вычислим $x(t):$

$x(t)=6\cdot \sin(32t+56°)\, (см).$

Ответ: $W_п=0.13\,Дж; W_к=50\,мДж; x(t)=6\cdot \sin(32t+56°)\, (см).$