90. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Дано:

$$RMNOP$$ — пирамида со всеми равными рёбрами.

$R_{NRP}=R$ .

Найти:

$S_{\text{бок}}$ — ?

Решение:

Основание $$MNOP$$ — квадрат: оно является ромбом с вершинами, равноудалёнными от проекции вершины пирамиды на основание, то есть вписанным в окружность; вписанный ромб является квадратом. Обозначим $$O_1$$ — середину $$NP$$ , центр описанной окружности треугольника $$NRP$$ .

Пусть $$RMNOP$$ — пирамида, все рёбра которой равны друг другу.

Предположим, каждое ребро равно $$a.$$

Рассмотрим треугольник $$NRP:$$

$$NR=RP=a;$$

$$MNOP$$ — квадрат, $NP=a\sqrt{2},$ значит треугольник $$NRP$$ — прямоугольный.

По условию $$NO_1=RO_1=O_1P=R$$ (радиус описанной окружности).

$R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2};$

$a=\dfrac{2R}{\sqrt{2}}=R\sqrt{2};$

\begin{aligned}S_{бок. гр.}&=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\\&=\dfrac{2R^2\sqrt{3}}{4}\\&=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2};\end{aligned}

$S_{бок}=4\cdot \dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}=2R^2\sqrt{3}.$

Ответ: $S_{бок}=2R^2\sqrt{3}.$

Чертёж к задаче 90 — Сечение NRP; NR = RP = a. O₁ — середина NP.