84. В правильной треугольной призме плоскость, проходящая через сторону её основания и противоположную вершину другого основания, делит полную поверхность призмы в отношении 2 : 3. Найдите эту поверхность, учитывая, что ребро основания равно a.

(Рисунок такой же, как и в номере 83).

$XYZX_1Y_1Z_1$ — правильная пирамида, сторона основания равна $a$, плоскость сечения $XY_1Z_1$ делит полную поверхность на две части $S_1$ и $S_2$ так, что $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{2}{3}$ или $3S_1=2S_2 (*), S_1+S_2=S.$

Положим, $S_1=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}+a\cdot h; S_2=\dfrac{2^2\sqrt{3}}{4}+2ah,$ где $h$ — длина бокового ребра.

С учётом $(*)$ получим равенство $\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{4}+3a\cdot h=\dfrac{2a^2\sqrt{3}}{4}+4ah,$ откуда $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=ah, h=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$

Находим $S=S_1+S_2=\dfrac{2a^2\sqrt{3}}{4}+\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{5}{4}a^2\sqrt{3}.$

Ответ: $1.25a^2\sqrt{3}.$