74. Ребро основания правильной треугольной пирамиды и её боковое ребро соответственно равны k и l. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через две вершины основания и середину бокового ребра.
Решение:
Пусть S A B C SABC S A B C — правильная пирамида, A C = A B = B C = k ; S A = S B = S C = l , △ A Q B AC=AB=BC=k; SA=SB=SC=l, \triangle AQB A C = A B = B C = k ; S A = S B = S C = l , △ A Q B — сечение S Q = Q C , A Q = Q B . SQ=QC, AQ=QB. S Q = Q C , A Q = Q B .
S A Q B = 1 2 ⋅ A B ⋅ Q R . S_{AQB}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot QR. S A Q B = 2 1 ⋅ A B ⋅ Q R .
Рассмотрим треугольник S Q B . SQB. S Q B . Так как Q Q Q — середина S C , SC, S C , то S Q = 1 2 S C = 1 2 l = l 2 . SQ=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{1}{2}l=\dfrac{l}{2}. S Q = 2 1 S C = 2 1 l = 2 l .
По теореме косинусов
Q B 2 = Q S 2 + S B 2 − 2 ⋅ Q S ⋅ S B cos ∠ C S B = l 2 4 + l 2 − 2 ⋅ l 2 ⋅ l ⋅ 2 l 2 − k 2 2 l 2 = 5 l 2 4 − 2 l 2 − k 2 2 = 5 l 2 4 − 2 ( 2 l 2 − k 2 ) 4 = 5 l 2 − 4 l 2 + 2 k 2 4 = l 2 + 2 k 2 4 ; QB^2=QS^2+SB^2-2\cdot QS\cdot SB\cos{\angle CSB}=\dfrac{l^2}{4}+l^2-2\cdot \dfrac{l}{2}\cdot l\cdot \dfrac{2l^2-k^2}{2l^2}=\dfrac{5l^2}{4}-\dfrac{2l^2-k^2}{2}=\dfrac{5l^2}{4}-\dfrac{2\left(2l^2-k^2\right)}{4}=\dfrac{5l^2-4l^2+2k^2}{4}=\dfrac{l^2+2k^2}{4}; Q B 2 = Q S 2 + S B 2 − 2 ⋅ Q S ⋅ S B cos ∠ C S B = 4 l 2 + l 2 − 2 ⋅ 2 l ⋅ l ⋅ 2 l 2 2 l 2 − k 2 = 4 5 l 2 − 2 2 l 2 − k 2 = 4 5 l 2 − 4 2 ( 2 l 2 − k 2 ) = 4 5 l 2 − 4 l 2 + 2 k 2 = 4 l 2 + 2 k 2 ;
Высота сечения Q R QR Q R из прямоугольного треугольника Q R B : Q R 2 = Q B 2 − B R 2 QRB: QR^2=QB^2-BR^2 Q R B : Q R 2 = Q B 2 − B R 2 (по теореме Пифагора).
Q R 2 = l 2 + 2 k 2 4 − k 2 4 = l 2 + k 2 4 ; QR^2=\dfrac{l^2+2k^2}{4}-\dfrac{k^2}{4}=\dfrac{l^2+k^2}{4}; Q R 2 = 4 l 2 + 2 k 2 − 4 k 2 = 4 l 2 + k 2 ;
Q R = l 2 + k 2 2 . QR=\dfrac{\sqrt{l^2+k^2}}{2}. Q R = 2 l 2 + k 2 .
S A Q B = 1 2 ⋅ k ⋅ l 2 + k 2 2 = k l 2 + k 2 4 . S_{AQB}=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot \dfrac{\sqrt{l^2+k^2}}{2}=\dfrac{k\sqrt{l^2+k^2}}{4}. S A Q B = 2 1 ⋅ k ⋅ 2 l 2 + k 2 = 4 k l 2 + k 2 .
Ответ: S A Q B = k l 2 + k 2 4 . S_{AQB}=\dfrac{k\sqrt{l^2+k^2}}{4}. S A Q B = 4 k l 2 + k 2 .
