74. Ребро основания правильной треугольной пирамиды и её боковое ребро соответственно равны k и l. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через две вершины основания и середину бокового ребра.

Решение:

Пусть $SABC$ — правильная пирамида, $AC=AB=BC=k; SA=SB=SC=l, \triangle AQB$ — сечение $SQ=QC, AQ=QB.$

$S_{AQB}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot QR.$

Рассмотрим треугольник $SQB.$ Так как $Q$ — середина $SC,$ то $SQ=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{1}{2}l=\dfrac{l}{2}.$

По теореме косинусов

$QB^2=QS^2+SB^2-2\cdot QS\cdot SB\cos{\angle CSB}=\dfrac{l^2}{4}+l^2-2\cdot \dfrac{l}{2}\cdot l\cdot \dfrac{2l^2-k^2}{2l^2}=\dfrac{5l^2}{4}-\dfrac{2l^2-k^2}{2}=\dfrac{5l^2}{4}-\dfrac{2\left(2l^2-k^2\right)}{4}=\dfrac{5l^2-4l^2+2k^2}{4}=\dfrac{l^2+2k^2}{4};$

Высота сечения $QR$ из прямоугольного треугольника $QRB: QR^2=QB^2-BR^2$ (по теореме Пифагора).

$QR^2=\dfrac{l^2+2k^2}{4}-\dfrac{k^2}{4}=\dfrac{l^2+k^2}{4};$

$QR=\dfrac{\sqrt{l^2+k^2}}{2}.$

$S_{AQB}=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot \dfrac{\sqrt{l^2+k^2}}{2}=\dfrac{k\sqrt{l^2+k^2}}{4}.$

Ответ: $S_{AQB}=\dfrac{k\sqrt{l^2+k^2}}{4}.$