68. Рёбра UX, UZ, UU1 прямоугольного параллелепипеда UXYZU1X1Y1Z1 равны 6 см, 6 см, 8 см соответственно. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью XY1Z является равнобедренным треугольником, и найдите высоты этого треугольника.

Решение:

Пусть UXYZU1X1Y1Z1UXYZU_1X_1Y_1Z_1 — прямоугольный параллелепипед, UX=UZ=6UX=UZ=6 см, UU1=8UU_1=8 см.

Грани ZZ1Y1YZZ_1Y_1Y и XX1Y1YXX_1Y_1Y равные прямоугольники с равными диагоналями ZY1ZY_1 и XY1,XY_1, значит сечение XY1ZXY_1Z — равнобедренный треугольник.

Найдём стороны этого треугольника.

По теореме Пифагора XZ2=XY2+ZY2=62+62=36+36=72;XZ^2=XY^2+ZY^2=6^2+6^2=36+36=72;

XZ=72=36⋅2=62 (см).XZ=\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}\,(см).

Т.к. Y1OY_1O — высота, то Y1X=X1Z=62+82=10 (см)Y_1X=X_1Z=\sqrt{6^2+8^2}=10\,(см) и Y1O=Y1X2−OX2=100−18=82 (см)Y_1O=\sqrt{Y_1X^2-OX^2}=\sqrt{100-18}=\sqrt{82}\,(см) (теорема Пифагора).

SXY1Z=12⋅62⋅82=3⋅164=641 (см2),S_{XY_1Z}=\dfrac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot \sqrt{82}=3\cdot \sqrt{164}=6\sqrt{41}\,(см^2),

оставшиеся равные высоты находим площадей h=2SY1X=124110=6415 (см).h=\dfrac{2S}{Y_1X}=\dfrac{12\sqrt{41}}{10}=\dfrac{6\sqrt{41}}{5}\,(см).

Ответ: 82\sqrt{82} см; 6415\dfrac{6\sqrt{41}}{5} см.