66. Постройте сечение пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC, AD. Найдите площадь этого сечения.

Дано:

$$ABCD$$ — пирамида со всеми рёбрами $$a$$ .

$$M$$ , $$N$$ , $$K$$ — середины $$AB$$ , $$AC$$ , $$AD$$ .

Найти:

$S_{MNK}$ — ?

Решение:

Соединим середины $$M$$ , $$N$$ , $$K$$ рёбер $$AB$$ , $$AC$$ , $$AD$$ . Треугольник $$MNK$$ — искомое сечение.

По теореме о средней линии:

\begin{aligned}MN&=\dfrac{BC}{2}\\NK&=\dfrac{CD}{2}\\MK&=\dfrac{BD}{2}.\end{aligned}

Следовательно, все стороны сечения равны $$a/2$$ , и оно является равносторонним треугольником.

\begin{aligned}S_{MNK}&=\dfrac{(a/2)^2\sqrt3}{4}\\&=\dfrac{a^2\sqrt3}{16}.\end{aligned}

Ответ: $\dfrac{a^2\sqrt3}{16}$ .