65. Изобразите куб NORQN1O1R1Q1 и отметьте середины A и B его рёбер NQ и QR. Докажите, что сечение куба плоскостью ABQ1 является равнобедренным треугольником. Найди те ребро куба, учитывая, что периметр этого треугольника равен a.

Решение:

ABQABQ — сечение куба, прямоугольные треугольники AQQ1AQQ_1 и BQQ1BQQ_1 равны по двум катетам, значит треугольник ABQABQ — равнобедренный.

PABQ=a.P_{ABQ}=a. Найдём ребро куба. Пусть ребро куба равно 2x,2x, тогда по теореме Пифагора AB=x2+x2=x2;AQ1=BQ=x2+4x2=x5;AB=\sqrt{x^2+x^2}=x\sqrt{2}; AQ_1=BQ=\sqrt{x^2+4x^2}=x\sqrt{5};

P=AB+2⋅AQ1;P=AB+2\cdot AQ_1;

P=x2+2x5=x(2+25);P=x\sqrt{2}+2x\sqrt{5}=x\left(\sqrt{2}+2\sqrt{5}\right);

2P=2x(2+25);2P=2x\left(\sqrt{2}+2\sqrt{5}\right);

Ребро куба 2x=2a2+25=2a(25−2)(25+2)(25−2)=2a(25−2)4⋅5−2=a(25−2)9.2x=\dfrac{2a}{\sqrt{2}+2\sqrt{5}}=\dfrac{2a\left(2\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\left(2\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}=\dfrac{2a\left(2\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{4\cdot5-2}=\dfrac{a\left(2\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{9}.

Ответ: a(25−2)9.\dfrac{a\left(2\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{9}.