58. Найдите полную поверхность пирамиды.
Дано:
\(QCDEF\) — правильная пирамида со всеми равными рёбрами.
\(QA:AD=QB:BE=5:7\).
\(L_{ABQFA}=70\text{ см}\).
Найти:
\(S_{\text{полн}}\) — ?
Решение:
Из подобия \(QAB\) и \(QDE\) имеем \(AB=5a/12\), где \(a\) — ребро пирамиды. Так как \(DF^2=DQ^2+QF^2\), угол \(DQF\) прямой; следовательно, \(\angle AQF=90^\circ\).
Пусть \(QCDEF\) — правильная пирамида со всеми равными рёбрами, \(QA:AD=QB:BE=5:7,\) длина ломаной \(ABQFA\) равна 70 см.
Обозначим длину ребра через \(a.\)
Рассмотрим треугольник \(AQF,\) где \(\angle AQF=90°.\)
\(AQ=\dfrac{5}{12}QD=\dfrac{5}{12}a;\)
По теореме Пифагора \(AQ^2+FQ^2=AF^2;\)
\[\begin{aligned}AF&=\sqrt{AQ^2+QF^2}\\&=\sqrt{\left( \dfrac{5}{12}a\right)^2+a^2}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}{}&=\sqrt{\dfrac{25}{144}a^2+a^2}\\&=\sqrt{\dfrac{169}{144}a^2}\end{aligned}\]
\[{}=\dfrac{13}{12}a.\]
Составим уравнение ломаной:
\[\begin{aligned}ABQFA&=\dfrac{5}{12}a+\dfrac{5}{12}a+a+\dfrac{13}{12}a\\&=\dfrac{35}{12}a;\end{aligned}\]
\(\dfrac{35a}{12}=70; a=24\,см.\)
\[\begin{aligned}S_{полн}&=S_{бок}+S_{осн}\\&=\dfrac{4a^2\sqrt{3}}{4}+a^2\\&=576\sqrt{3}+576\\&=576\left(\sqrt{3}+1\right)\,см^2.\end{aligned}\]
Ответ: \(S_{полн}=576\left(\sqrt{3}+1\right)\,см^2.\)
