48. Диагонали KM и LN основания KLMN пирамиды AKLMN пересекаются в точке O, точка B — внутренняя точка отрезка KO, а точка C лежит на луче LN за точкой N. Постройте:

Решение:

Точки $$B$$ и $$C$$ лежат в плоскости основания $$KLMN$$ . Плоскости основания и грани $$ALM$$ пересекаются по прямой $$LM$$ .

а) Если прямые $$BC$$ и $$LM$$ пересекаются, построим $X=BC\cap LM$ . Так как $LM\subset (ALM)$ , точка $$X$$ — искомая точка пересечения $$BC$$ с плоскостью $$ALM$$ .

б) В этом случае точка $$X$$ принадлежит обеим плоскостям $$ABC$$ и $$ALM$$ . Точка $$A$$ также общая, поэтому искомая прямая — $$AX$$ .

Случай параллельных прямых. Условие не ограничивает форму основания, поэтому возможно $BC\parallel LM$ .

Тогда в пункте а) общей точки у прямой $$BC$$ и плоскости $$ALM$$ нет: любая такая точка должна лежать на $$LM$$ , а параллельные прямые $$BC$$ и $$LM$$ не пересекаются.

В пункте б) проведём через $$A$$ прямую $$l$$ , параллельную $$BC$$ . Она лежит в плоскости $$ABC$$ . Поскольку $BC\parallel LM$ , та же прямая через $$A$$ , параллельная $$LM$$ , лежит в плоскости $$ALM$$ . Следовательно, $$l$$ — искомая линия пересечения плоскостей.