34. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Докажите, что все прямые, которые:

а) проходят через точку A и пересекают прямую BC, лежат в одной плоскости;

Решение:

Пусть α=(ABC),\alpha=(ABC), любая прямая a=XY:X=A;Y=a∩BC.a=XY: X=A; Y=a\cap BC.

Т.к. X=A∈α,Y∈BC⇒Y∈α,X=A\in\alpha, Y\in BC \Rightarrow Y\in \alpha, то по Аксиоме 2 a⊂α.a\subset\alpha. Следовательно все такие прямые лежат в плоскости α.\alpha.

б) не проходят через точку A и пересекают обе прямые AB и AC, лежат в одной плоскости.

Решение:

Пусть aa — любая прямая: a=XY;X=a∩AB;Y=a∩AC.a=XY; X=a\cap AB;Y=a\cap AC.

Т.к. AB⊂α,AB\subset\alpha, то X∈α;AC⊂α,X\in \alpha; AC\subset\alpha, то Y∈α.Y\in\alpha. Значит a⊂α.a\subset\alpha. Следовательно все такие прямые лежат в плоскости α.\alpha.