17. Основанием пирамиды REFGH является параллелограмм EFGH со сторонами 10 см, 18 см и площадью 90 см2 . Отрезок, соединяющий Рис. 47 вершину R пирамиды с точкой O пересечения диагоналей основания, перпендикулярен этим диагоналям и равен 6 см. Найдите:

а) боковые рёбра пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды;

в) полную поверхность пирамиды.

Решение:

Пусть $REFGH$ — пирамида, основание $EFGH$ — параллелограмм, $EF=10$ см, $EH=18$ см, $S_{EFGH}=90$ см, $EG\cap FH=O;$ $RO\perp EG;$ $RO\perp FH, RO=6$ см.

А) Так как $S_{парал.}=a\cdot b \cdot \sin{\alpha},$ то $10\cdot 18 \cdot \sin{\alpha}=90,$ значит $\sin{\alpha}=\dfrac{1}{2}.$

Имеем $\angle{FEH}=30°; \angle{EFG}=150°.$

По теореме косинусов $FH^2=100+324-2\cdot 10\cdot 18\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=424-180\sqrt{3}=4(106-45\sqrt{3});$

$FH=2\sqrt{106-45\sqrt{3}}; OH=\sqrt{106-45\sqrt{3}}.$

По теореме Пифагора $RH^2=RO^2+OH^2;$

$FR=RH=\sqrt{106-45\sqrt{3}+36}=\sqrt{142-45\sqrt{3}}$ см.

Аналогично найдём $EG^2=100+324+2\cdot 10\cdot 18\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=4(106+45\sqrt{3});$

Б) Для нахождения боковой поверхности найдём высоты смежных боковых граней.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ROK, RO=6$ см, $OK=\dfrac{1}{2}FF_1; FF_1=\dfrac{1}{2}EF=5$ см (по теореме о катете против угла в 30°), значит высота треугольника $ERH$: $RK=\sqrt{RO^2+OK^2}=\sqrt{36+\dfrac{25}{4}}=\sqrt{\dfrac{169}{4}}=\dfrac{13}{2}$ см.

Тогда $S_{ERH}=\dfrac{1}{2}\cdot 18\cdot \dfrac{13}{2}=\dfrac{117}{2}$ см$^2;$

Аналогично находим высоты и площадь треугольника $ERF: RL=\sqrt{36+\dfrac{31}{4}}=\sqrt{\dfrac{225}{4}}=\dfrac{15}{2};$

$S_{ERK}=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot \dfrac{15}{2}=\dfrac{75}{2}$ см$^2.$

Учитывая равенство площадей противоположных боковых граней, получим $S_{бок}=117+75=192$ см$^2.$

В) $S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}$.

$S_{осн}=EF\cdot EH\cdot \sin{\angle{FEH}}=10\cdot 18 \cdot \dfrac{1}{2}=90$ см$^2.$

$S_{полн}=192+90=282$ см$^2.$

Ответ: а) $\sqrt{142-45\sqrt{3}}$ см; $\sqrt{142+45\sqrt{3}}$ см; б) $192$ см$^2;$ в) $282$ см$^2.$