15. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 26 см, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, — 10 см. Найдите:

а) боковое ребро и сторону основания пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды;

в) полную поверхность пирамиды.

Решение:

Пусть SABCDEFSABCDEF — правильная шестиугольная пирамида, апофема SK=26SK=26 см, SO=10SO=10 см. Найдём:

а) боковое ребро SASA и сторону основания AB.AB.

1) Т.к. основание — правильный шестиугольник, то треугольник AOBAOB — правильный. Найдём высоту △AOB\triangle{AOB} по теореме Пифагора: OK=SK2−SO2=252−102=24OK =\sqrt{SK^2-SO^2}=\sqrt{25^2-10^2}=24 см.

2) Высота и сторона правильного треугольника связаны формулой h=a32,h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}, значит сторона ровна a=2h33=2⋅24⋅33=163a=\dfrac{2h\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\cdot24\cdot\sqrt{3}}{3}=16\sqrt{3} см.

3) Из треугольника SOKSOK находим боковое ребро по формуле SA=SO2+OA2;SA=\sqrt{SO^2+OA^2};

SA=256⋅3+100=868=2217SA=\sqrt{256\cdot 3 +100}=\sqrt{868}=2\sqrt{217} см.

Б) Боковую поверхность найдём по формуле Sбок=12Pосн⋅SK;S_{бок}=\dfrac{1}{2}P_{осн}\sdot SK;

Sбок=12⋅6⋅16⋅3⋅26=12483S_{бок}=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 16\cdot \sqrt{3}\cdot 26=1248\sqrt{3} см2^2.

В) Полную поверхность найдём по формуле Sполн=Sбок+Sосн;S_{полн}=S_{бок}+S_{осн};

Sосн=3a232=3⋅256⋅332=11523S_{осн}=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\cdot 256\cdot 3\sqrt{3}}{2}=1152\sqrt{3} см2.^2.

Sполн=12483+11523=24003S_{полн}=1248\sqrt{3}+1152\sqrt{3}=2400\sqrt{3} см2.^2.

Ответ: а) 22172\sqrt{217} см; 16316\sqrt{3} см; б)124831248\sqrt{3} см2;^2; в) 240032400\sqrt{3} см2.^2.