13. Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды равна 150 см2 , а её апофема — 10 см. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение:

Пусть $SABCDEF$ — правильная шестиугольная пирамида, $S_{бок}=150$ см$^2$, апофема $SK=10$ см.

Найдём площадь треугольника $ASB:$ $S_{ASB}=\dfrac{S_{бок}}{6}=25$ см$^2$, значит сторона основания $AB=\dfrac{2S_{ASB}}{SK}=5$ см;

$S_{осн}=6\cdot S_{AOB};$ треугольник $AOB$ — правильный, т.к. основание пирамиды — правильный шестиугольник, $S_{AOB}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{25\cdot\sqrt{3}}{4};$

$S_{осн}=\dfrac{6\cdot 25\sqrt{3}}{4}=37.5\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $37.5\sqrt{3}$ см$^2$.