12. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 15 см, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, — 12 см. Найдите:

а) боковое ребро;

б) боковую поверхность пирамиды;

в) полную поверхность пирамиды.

А) Т.к. $O$ — центр основания, то $O$ — центр описанной и вписанной окружности правильного треугольника $ABC$, радиус вписанной окружности найдём из треугольника $OHM$ по теореме Пифагора: $r=OH=\sqrt{MH^2-MO^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$ см.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. Тогда $R=2r=2OH=2\cdot9=18$ см.

По теореме Пифагора находим боковое ребро $MA=\sqrt{MO^2+OA^2}=\sqrt{12^2+18^2}=\sqrt{468}=6\sqrt{13}$ см.

Б) Боковую поверхность пирамиды найдём по формуле $S_{бок}=\dfrac{1}{2}P_{осн}\cdot MH.$ Сторона основания и $r$ связаны формулой $r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$. Тогда $a=2\sqrt{3}\cdot r = 2\sqrt{3}\cdot 9=18\sqrt{3}$ см — сторона правильной треугольной пирамиды.

$P_{осн}=3\cdot a=3\cdot 18\sqrt{3}=54\sqrt{3}$ см.

$S_{бок}=\dfrac{1}{2}\cdot 54\sqrt{3}\cdot 15=405\sqrt{3}$ см$^2$.

В) Полную поверхность пирамиды найдём по формуле $S_{полн}=S_{бок}+S_{осн};$

$S_{осн}=\dfrac{a^2 \cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{324\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{4}=243\sqrt{3}$ см$^2$.

$S_{полн}=405\sqrt{3}+243\sqrt{3}=648\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: а) $6\sqrt{13}$ см; б) $405\sqrt{3}$ см$^2$; в) $648\sqrt{3}$ см$^2$.