11. Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды MABC равна 10 3 см, а отрезок, соединяющий вершину M пирамиды с центром O основания, — 12 см (рис. 46). Найдите:

Решение:

$MABC$ — правильная пирамида, $AB=BC=AC=10\sqrt{3}$ см, $O$ — центр основания, $MO=12$ см. Найдём:

а) апофему пирамиды $MD$: $O$ — центр вписанной окружности в треугольник $ABC$, значит $r=OD=\dfrac{1}{3}AD,$ $AD$ — высота основания. По формуле $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ найдём $AD=\dfrac{10\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=15$ см, $OD=5$ см.

Рассмотрим треугольник $MOD:$ $\angle{MOD}=90°, MO=12$ см, $OD=5$ см, по теореме Пифагора $MD=\sqrt{144+25}=13$ см.

б) боковую поверхность пирамиды.

Т.к. $MABC$ — правильная пирамида, то $S_{бок}=\dfrac{1}{2}P_{осн}\cdot h, h$ — апофема.

$S_{бок}=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot10\sqrt{3}\cdot13=195\sqrt{3}$ см$^2$.

в) полную поверхность пирамиды.

$S_{полн}=S_{бок}+S_{осн};$

$S_{ABC}=\dfrac{AB^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{(10\sqrt{3})^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{300\sqrt{3}}{4}=75\sqrt{3}$ см$^2$.

$S_{полн}=195\sqrt{3}+75\sqrt{3}=270\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $13$ см; $195\sqrt{3}$ см$^2$; $270\sqrt{3}$ см$^2$.