8. Основанием прямой призмы является треугольник со сторонами 3 см и 5 см и углом между ними в 120°, а наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2. Найдите полную поверхность призмы.

Дано: прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, AC = 3 см, AB = 5 см,$\angle{BAC}$ = 120°.

Найти: $S_{полн}.$

Решение:

1) По теореме косинусов находим большую сторону основания $BC^2=AC^2+AB^2-2·AC·AB·\cos{A}$;

$BC^2=9+25-2·3·5·\cos{120°}=9+25+2·3·5·\dfrac{1}{2}=9+25+15=49;$

$BC=\sqrt{49}=7(см).$

2) По условию задачи $S_{BCC_1B_1}=35 см^2$, $BCC_1B_1$ — прямоугольник, тогда $BB_1=\dfrac{35}{7}=5$ (см).

3) $S_{полн}=2S_{осн}+S_{бок}; S_{бок}=P_{осн}\cdot BB_1; P_{осн}=3+5+7=15$ (см).

4) $S_{бок}=15\cdot5=75$ $(см^2).$ $S_{осн}=\dfrac{15\sqrt{3}}{2}+75=5(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+15)$ $(см^2).$

Ответ: $5(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+15)$ $см^2.$