§ 4. Взаимное расположение прямых в пространстве
1. Сформулируйте утверждение о прямых, проходящих через данную точку параллельно данной прямой.
На плоскости через данную точку можно провести единственную прямую, параллельную данной.
2. Какие две прямые пространства называются параллельными; пересекающимися; скрещивающимися?
Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Пересекающимися называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку.
Скрещивающимися называются две прямые, которые не лежат в одной плоскости.
3. Сформулируйте утверждение о параллельных прямых, из которых одна пересекает данную плоскость.
Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
4. Сформулируйте утверждение о прямых, параллельных некоторой прямой.
Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны и друг другу.
5. Сформулируйте свойство противоположных граней прямоугольного параллелепипеда; диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
У параллелепипеда противоположные грани равны, а все его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
6. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.
Если из двух прямых одна принадлежит некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися.
7. Какой угол называют углом между пересекающимися прямыми; скрещивающимися прямыми; параллельными прямыми?
Углом между пересекающимися прямыми называют величину одного из четырёх образовавшихся при пересечении углов, который не больше 90°.
Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.
Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.
8. Как построить угол между скрещивающимися прямыми?
Для этого нужно выбрать произвольно точку A пространства и через неё провести прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым.
9. Какие прямые называют перпендикулярными?
Перпендикулярными называют прямые, угол между которыми равен 90°.
10. Точки M, N, P — соответственно середины рёбер HE, HF, HG треугольной пирамиды EFGH, а точка K лежит на отрезке FN. Определите взаимное расположение прямых:
а) PK и FG — прямые пересекающиеся, т.к. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;
б) MP и EG — прямые параллельны, т.к. не имеют общих точек;
в) NH и EF — прямые пересекающиеся, т.к. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку.
11. Установите, пересекаются ли прямые, на которых лежат основания двух треугольников BAC и DFE, имеющих общую среднюю линию.
Прямые пересекаются.
12. Определите взаимное расположение линии реки и линии моста.
Расположение линии реки и линии моста параллельное.
13. Используя рисунок 148, на котором дан куб LKMNL1K1M1N1, назовите скрещивающиеся прямые.
Прямые и и и и т.д.
14. В треугольной пирамиде EFGH точки M, N, P — середины рёбер HE, HF, HG соответственно, а точка K лежит на отрезке FN. Определите взаимное расположение прямых:
а) KP и MN — прямые скрещивающиеся, т.к. одна из прямых не лежит в одной плоскости с первой, но пересекает её;
б) MN и EG — прямые также скрещивающиеся, т.к. одна из прямых не лежит в одной плоскости с первой, но пересекает её;
в) MH и FG — прямые также скрещивающиеся, т.к. одна из прямых не лежит в одной плоскости с первой, но пересекает её.