§ 2. Прямые и плоскости

1. Какие две прямые плоскости называются пересекающимися; параллельными?

Плоскости называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку. Если прямые не имеют общих точек, тогда их называют параллельными.

2. Какие прямые называются скрещивающимися?

Прямые называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

3. Как могут располагаться две прямые в пространстве?

В пространстве две прямые могут располагаться параллельно, пересекаться и скрещиваться.

4. Какие прямая и плоскость называются пересекающимися; параллельными?

Прямая и плоскость называются пересекающимися, если прямая не лежит в плоскости и имеет с ней одну общую точку. Прямую и плоскость называют параллельными, если прямая не имеет ни одной общей точки с плоскостью.

5. Как могут располагаться в пространстве прямая и плоскость?

Прямая может лежать в плоскости, может пересекаться с плоскостью в некоторой точке, может быть параллельна плоскости.

6. Какие две плоскости называются пересекающимися; параллельными?

Две плоскости называются пересекающимися, если они имеют общие точки. Параллельными называют две плоскости, не имеющие ни одной общей точки.

7. Как могут располагаться в пространстве две плоскости?

Две плоскости могут быть параллельны и пересекаться.

8. Сформулируйте свойство плоскости, проходящей через три точки, и приведите примеры моделей, иллюстрирующих это свойство.

Плоскость, проходящая через три точки, — единственная плоскость, проходящая через эти точки.

Примеры моделей:

• острия ножек штатива фотоаппарата принадлежат одной плоскости, и поэтому положение фотоаппарата устойчивое;
• дверь, закреплённая на двух петлях, не занимает определённого положения (может находится в разных плоскостях), но если добавить третью точку крепления — замок, то положение двери фиксируется в одной плоскости;
• когда ножки табурета неправильно подрезаны, то табурет стоит на трёх ножках, а четвёртая ножка висит над полом (т.е. все ножки не могут находится на одной плоскости).

9. Сформулируйте свойство прямой, две точки которой принадлежат плоскости, и приведите примеры моделей, иллюстрирующих это свойство.

Прямая, две точки которой принадлежат плоскости, тоже принадлежит этой плоскости.

Примером является проверка прямолинейности линейки. Если ровную линейку положить краем к поверхности стола (плоскости), то она всеми точками прилегает к поверхности; а если линейка неровная, то между линейкой и столом будет щель.

10. Сформулируйте свойство линии пересечения двух плоскостей и приведите примеры моделей, иллюстрирующих это свойство.

Точки прямой, принадлежащей двум плоскостям, принадлежат обеим плоскостям.

Примером является пересечение двух смежных стен комнаты.

11. Как обозначаются точки; прямые; плоскости?

Точки обозначаются прописными буквами (большими), прямые — строчными (маленькими), плоскости — строчными буквами греческого алфавита, например $\alpha$ (альфа).

12. Назовите способы задания плоскости.

Плоскость можно задать:

• тремя точками, не лежащих на одной прямой;
• прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой;
• двумя пересекающимися прямыми;
• двумя параллельными прямыми.

13. Верно ли, что:

а) через любые две точки проходит единственная прямая.

Верно.

б) через любые три точки проходит единственная плоскость;

Верно.

в) три попарно пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

Не верно. Три попарно пересекающиеся прямые могут иметь точки, не лежащие в одной плоскости.

14. На рисунке 85 изображена призма, основания которой — правильные шестиугольники. Назовите:

а) прямые, пересекающие плоскость ABC:

Прямые AP, FU, ET, DS, CR и BQ.

б) прямые, пересекающие плоскость UTF:

Прямые PU, QP, RS, ST, AF, BA, CD и DE.

в) прямые, лежащие в плоскости PTR:

Прямые PU, UT, TS, SR, RQ и QP.

г) прямые, лежащие в плоскости CDR:

Прямые CD, DS, SR и RC.

д) прямые, параллельные плоскости FEC:

Прямые PU, UT, TS, SR, RQ и QP.

е) прямые, параллельные плоскости AQB:

Прямые UF, RC, TE и SD.

15. На рисунке 86 изображён параллелепипед. Назовите:

а) плоскости, пересекающие прямую CQ:

Плоскости CFD и QPN.

б) плоскости, пересекающие прямую OP:

Плоскости QPF и NOE.

в) плоскости, в которых лежит прямая NO:

Плоскости QNO и DNO.

г) плоскости, которым принадлежит прямая DN:

Плоскости CDN и DNE.

д) плоскости, параллельные прямой CF:

Плоскости QPN и DNE.

е) плоскости, параллельные прямой EO:

Плоскости PEQ и CND.

16. Могут ли две плоскости иметь:

а) только одну общую точку?

Не могут.

б) только две общие точки?

Не могут. Две плоскости могут не иметь общих точек, либо иметь множество общих точек.

в) только одну общую прямую?

Могут. Если плоскости пересекаются, они имеют только одну общую прямую.

г) только две общие прямые?

Не могут. Через две прямые проходит одна единственная плоскость.