§ 1. Пространственные фигуры
1. Какие геометрические фигуры называются плоскими; пространственными?
Плоскими называются фигуры, точки которых принадлежат одной плоскости. Пространственными называются фигуры, точки которых принадлежат нескольким плоскостям.
2. Какое тело называют многогранником?
Многогранником называют тело, ограниченное плоскими многоугольниками.
3. Что называют гранями многогранника; рёбрами многогранника; вершинами многогранника?
Гранями многогранника называют плоскости, ограниченные сторонами многоугольников, из которых состоит многогранник.
Вершинами многогранника называют вершины многоугольников, из которых состоит многогранник.
Рёбрами многогранника называют стороны многоугольников, из которых состоит многогранник.
4. Какой многогранник называется призмой?
Призмой называется многогранник, две грани которого — равные n-угольники, а остальные n граней — параллелограммы.
5. Что называют основаниями призмы; боковыми гранями призмы; боковыми рёбрами призмы?
Основаниями призмы называют равные грани-многоугольники этой призмы.
Боковыми гранями призмы называют параллелограммы, из которых состоит призма.
Боковыми рёбрами призмы называют рёбра боковых граней, не принадлежащие основаниям.
6. Какая призма называется прямой призмой; наклонной призмой?
Прямой называется призма, боковые грани которой являются прямоугольниками.
Наклонной называется призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны рёбрам основания призмы.
7. Какая призма называется правильной призмой?
Правильной называется прямая призма, основания которой являются правильными многоугольниками.
8. Какая призма называется параллелепипедом; прямым параллелепипедом?
Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы.
Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые грани которого являются прямоугольниками.
9. Какой прямой параллелепипед называется прямоугольным параллелепипедом?
Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основания которого являются прямоугольниками.
10. Какие рёбра прямоугольного параллелепипеда называются его измерениями?
Измерениями прямоугольного параллелепипеда называются рёбра, которые сходятся в одной вершине.
11. Какой многогранник называется пирамидой?
Пирамидой называется многогранник, одна грань которого — многоугольник, а остальные — треугольники с общей вершиной.
12. Что называют основанием пирамиды; боковыми гранями пирамиды; вершиной пирамиды?
Основанием пирамиды называют её многоугольную грань.
Боковыми гранями пирамиды называют её треугольные грани.
Вершиной пирамиды называют общую вершину её боковых граней.
13. Какая пирамида называется правильной пирамидой?
Правильной называется пирамида, основание которой — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий её вершину с центром основания, перпендикулярен любой прямой, проведённой в плоскости основания через этот центр.
14. Какой отрезок называется апофемой правильной пирамиды?
Апофемой правильной пирамиды называют высоту боковой грани пирамиды, опущенную из вершины пирамиды.
15. Сформулируйте свойство боковых рёбер правильной пирамиды; боковых граней правильной пирамиды; апофем правильной пирамиды.
- Боковые рёбра правильной пирамиды равны.
- Боковые грани правильной пирамиды равны и являются равнобедренными треугольниками.
- Апофемы правильной пирамиды равны.
16. Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды?
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра её основания и апофемы.
17. Какое тело называется цилиндром?
Цилиндром называется тело, которое получено вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
18. Какое тело называется конусом?
Конусом называется тело, которое получено вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.
19. Какое тело называется шаром?
Шаром называется тело, которое получено вращением круга вокруг своего диаметра.
20. Верно ли, что:
а) количество вершин любой призмы — число чётное.
Верно. Если дана призма с n-угольником в основании, то количество вершин равно n + n = 2n. А 2n делится на 2.
б) количество рёбер любой призмы — число, кратное трём?
Верно. Если дана призма с n-угольником в основании, то количество ребер будет равно сумме n ребер нижнего основания, n ребер верхнего основания и n боковых ребер. Таким образом, количество ребёр равно n + n + n = 3n. А 3n делится на 3.
21. Найдите количество диагоналей семиугольной призмы.
Из одной вершины можно провести n – 3 диагоналей. Количество диагоналей будет равно n × (n – 3) = 7 × (7 – 3) = 28.
22. Существует ли пирамида, которая имеет 11 рёбер? Обоснуйте свой ответ.
Такой пирамиды не существует, поскольку пирамида всегда имеет чётное количество рёбер, т.к. количество рёбер n-угольной пирамиды равно 2n, а 2n делится на 2.