§ 9. Закон всемирного тяготения Ньютона

1. Какие задачи решает небесная механика?

Небесная механика изучает движение небесных тел под действием тяготения, разрабатывает методы определения их траекторий на основании наблюдаемых положений на небе, позволяет рассчитать таблицы их координат на дальнейшее время (эфемериды), изучает взаимное влияние тел на их движение, рассматривает движение и устойчивость систем небесных и искусственных тел.

2. Сформулируйте закон всемирного тяготения. Каковы особенности в использовании данного закона для проведения расчётов?

Формула закона всемирного тяготения:

$$F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2},$$

где $F$ — сила взаимодействия двух тел; $G$ — постоянная всемирного тяготения $(G=6.67·10^{-11}\,Н·м^2/кг^2);$ $m_1$ и $m_2$ — массы тел; $r$ — расстояние между телами.

Формулировка закона всемирного тяготения: два тела притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению масс этих тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Закон всемирного тяготения справедлив в случае, когда размеры тел пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними. В случае протяжённых шарообразных тел со сферически-симметричным распределением масс в качестве расстояния $r$ в формуле закона всемирного тяготения следует принимать расстояние между центрами этих тел.

3. Как понимают в астрономии «задачу двух тел»? «Задачу трёх тел»?

«Задача двух тел» полностью была решена Ньютоном (закон всемирного тяготения). Определение движения трёх тел, взаимно притягивающих друг друга с силой, обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, называется «задачей трёх тел». Решение уравнения движения для трёх тел — задача исключительной сложности, однако анализ возмущений позволяет довольно точно определить массу и положение возмущённого тела. Наиболее ярким примером этому в истории астрономии стало открытие планеты Нептун на основе анализа возмущений, имеющихся в движении Урана.

4. Как ньютон обобщил законы Кеплера?

Уточнение и обобщение Ньютоном первого закона Кеплера состоит в том, что под действием тяготения всякое тело движется по кононическому сечению (т.е. по одной их кривых — окружности, эллипсу, параболе или гиперболе). При движении по эллипсу притягивающее тело всегда находится в одном из двух фокусов этой кривой.

Обобщённый второй закон Кеплера имеет формулировку: «Площадь, описанная радиусом-вектором за единицу времени, есть величина постоянная».

Формула третьего закона Кеплера, уточнённого Ньютоном:

$$\dfrac{T^2_1(M_☉+m_1)}{T^2_2(M_☉+m_1)}=\dfrac{a^3_1}{a^3_2},$$

где $M_☉$ — масса Солнца; $m_1$ и $m_2$ — массы планет; $T_1$ и $T_2$ — сидерические периоды планет; $a_1$ и $a_2$ — большие полуоси орбит планет.

5. Определите массу планеты Уран (в массах Земли), если известно, что спутник Урана Титания обращается вокруг него с периодом 8,7 сут. на среднем расстоянии 438 тыс. км. для Луны эти величины равны соответственно 27,3 сут. и 384 тыс. км.

Дано:

$a=438$ тыс. км,
$p=8.7$ сут,
$a_Л=384$ тыс. км,
$P_Л=27.3$ сут,
$M_З=1.$

$M_У - ?$

Решение:

$\dfrac{p^2(M_У+m_Т)}{p^2_Л(M_З+m_Л)}=\dfrac{a^3}{a^3_Л}.$

Пренебрегая массами Титания и Луны $(m_Т$ и $m_Л)$, получим, что

$M_У=\left(\dfrac{a}{a_Л}\right)^3·\left(\dfrac{P_Л}{p}\right)·M_З;$
$M_У=\left(\dfrac{438·10^3}{384·10^3}\right)^3·\left(\dfrac{27.3}{8.7}\right)^2·1=14.6.$

Ответ: $14.6$ массы Земли.

6. Определите среднюю плотность Солнца, если период обращения Земли вокруг Солнца принять равным 365 сут. При расчётах принять радиус земной орбиты равным 150 млн км, а радиус Солнца — 700 тыс. км.

Дано:

$T_\oplus=365\,сут.;$

$a_\oplus=150\,млн\,км;$

$R_\odot=700\,тыс.\,км.$

Найти:

$\bar\rho_{\odot} -?$

Решение:

Из формулы для уточнённого III закона Кеплера находим, что:

$T_{\oplus}=2\pi \sqrt{\dfrac{a_{\oplus}^3}{GM_{\odot}}}.$

Отсюда получаем массу Солнца:

$M_{\odot}=\dfrac{4\pi^2 a_{\oplus}^3}{GT_{\oplus}^2}=2\cdot 10^{30} \text{ кг}.$

Из определения понятия плотности:

$\bar\rho_{\odot}=\dfrac{M_{\odot}}{V_{\odot}}.$

Объём звезды (в первом приближении, абсолютно сферической), найдём по формуле:

$V_{\odot}=\dfrac{4}{3}\pi R_{\odot}^3.$

Вычислим:

$\bar\rho_{\odot}=\dfrac{3M_{\odot}}{4\pi R_{\odot}^3};$

$\bar\rho_{\odot}=\dfrac{3\cdot 2 \cdot 10^{30}}{4\cdot \pi \cdot (700 \cdot 10^6)^3}=1392\text{ кг/м$^3$}.$

Ответ: $\bar\rho_{\odot}=1392\text{ кг/м$^3$}.$

7. Определите ускорение силы тяжести на поверхности Марса, если известно, что масса Марса равна 6.4 ⋅ 10^23 кг, а его радиус равен 3396 км.

Дано:

$\text{$M=6,4\cdot10^{23}$ кг};$

$\text{$R=3396$ км}.$

Найти:

$g_М-?$

Решение:

Ускорение силы тяжести на поверхности Марса найдём по формуле:

$g_М=\dfrac{GM}{R^2};$

$g_М=\dfrac{6,67\cdot 10^{-11}\cdot6,4\cdot10^{23}}{(3396\cdot10^3)^2}\approx 3,7 \text{ м/с$^2$}.$

Ответ: $g_М=3.7 \text{ м/с$^2$}.$

8. Во сколько раз меньше будет весить человек на Марсе, чем на Земле, если масса Марса равна 6.4 ⋅ 10^23 кг, а его радиус равен 3396 км?

Дано:

$\text{$M=6,4\cdot10^{23}$ кг};$

$\text{$R=3396$ км}.$

Найти:

$\text{$\dfrac{P_{\oplus}}{P_{M}}-?$}$

Решение:

$g_M=\dfrac{GM}{R^2};$

$\dfrac{P_{\oplus}}{P_{M}}=\dfrac{g_{\oplus}}{g_M};$

$\dfrac{P_{\oplus}}{P_{M}}=\dfrac{g_{\oplus}R^2}{GM}=\dfrac{9,8 \cdot (3396 \cdot 10^3)^2}{6,67 \cdot 10^{-11}\cdot 6,4 \cdot 10^{23}}\approx2,65.$

Ответ: $\dfrac{P_{\oplus}}{P_{M}}=2,65.$