§ 8. Законы Кеплера
1. Сформулируйте законы Кеплера.
Первый закон Кеплера. Все планеты обращаются по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
Второй закон Кеплера. Радиус-вектор планеты (линия, соединяющая центр Солнца с центром планеты) за равные промежутки времени описывает равновеликие площади.
Третий закон Кеплера. Квадраты сидерических периодов обращения двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:
$$\dfrac{T^2_1}{T^2_2}=\dfrac{a^3_1}{a^3_2}.$$
2. У Земли эксцентриситет орбиты равен 0,017, а у Марса — 0,093. Орбита какой из планет наиболее вытянута?
Наиболее вытянута орбита Марса.
3. Во сколько раз афелийное расстояние больше перигелийного расстояния, если эксцентриситет орбиты равен 0,5?
Найдём отношение $Q/q$ из формул:
$$q=a(1-e),$$
$$Q=a(1+e).$$
Получим, что в 3 раза.
4. Меняется ли скорость планеты, движущейся по эллиптической орбите? круговой орбите?
Согласно второму закону Кеплера, скорость планеты будет меняться при движении по эллиптической орбите.
5. Считая орбиты Земли и Марса круговыми, рассчитайте продолжительность года на Марсе. При решении задачи учтите, что Марс находится от Солнца дальше, чем Земля, в 1,5 раза.
Из условия задачи получим, что большая полуось орбиты Марса $a=1.5$ а.е. Тогда из третьего закона Кеплера, приняв для Земли $a=1$ а.е. и $T=1$ год, получим для Марса:
$$T=\sqrt{a^3}.$$
Произведя вычисления, найдём значение $T = 1.8$ года.