§ 8. Законы Кеплера

1. Сформулируйте законы Кеплера.

Первый закон Кеплера. Все планеты обращаются по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

Второй закон Кеплера. Радиус-вектор планеты (линия, соединяющая центр Солнца с центром планеты) за равные промежутки времени описывает равновеликие площади.

Третий закон Кеплера. Квадраты сидерических периодов обращения двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит: 

$$\dfrac{T^2_1}{T^2_2}=\dfrac{a^3_1}{a^3_2}.$$

2. Меняется ли скорость планеты, движущейся по эллиптической орбите? круговой орбите?

Согласно второму закону Кеплера, скорость планеты будет меняться при движении по эллиптической орбите.

3. Во сколько раз афелийное расстояние больше перигелийного расстояния, если эксцентриситет орбиты равен 0,5?

Найдём отношение $Q/q$ из формул:

$$q=a(1-e),$$

$$Q=a(1+e).$$

Получим, что в 3 раза.

4. У Земли эксцентриситет орбиты равен 0,017, а у Марса — 0,093. Орбита какой из планет наиболее вытянута?

Наиболее вытянута орбита Марса.

5. Считая орбиты Земли и Марса круговыми, рассчитайте продолжительность года на Марсе. При решении задачи учтите, что Марс находится в 1,5 раза дальше от Солнца, чем Земля.

Из условия задачи получим, что большая полуось орбиты Марса $a=1.5$ а.е. Тогда из третьего закона Кеплера, приняв для Земли $a=1$ а.е. и $T=1$ год, получим для Марса:

$$T=\sqrt{a^3}.$$

Произведя вычисления, найдём значение $T = 1.8$ года.

6. Найдите перигелийное и афелийное расстояния астероида Белоруссия, если его большая полуось и эксцентриситет орбиты соответственно равны 2.405 а. е. и 0.181. На какое минимальное расстояние он приближается к Земле?

Дано:

a=2.405 а.е.;a=2.405\,а.е.;

e=0.181.e=0.181.

Найти:

Q−?Q-?

q−?q-?

dmin−?d_\mathrm{min}-?

Решение:

Для нахождения перигелийного и афелийного расстояния астероида Белоруссия, воспользуемся формулами для случая эллиптической орбиты:

q=a⋅(1−e)=2.405⋅(1−0.181)=1.970 а.е.;q=a\cdot(1-e)=2.405\cdot (1-0.181)=1.970\,а.е.;

Q=a⋅(1+e)=2.405⋅(1+0.181)=2.840 а.е.Q=a\cdot(1+e)=2.405\cdot(1+0.181)=2.840\,а.е.

Найдём минимальное расстояние:

dmin=q−QЗ;d_\mathrm{min}=q-Q_З;

QЗ=aЗ(1−eЗ);Q_З=a_З(1-e_З);

aЗ=1 а.е.;a_З=1\,а.е.;

eЗ=0.0167.e_З=0.0167.

Вычислим:

dmin=1.970−1⋅(1−0.0167)=1.97−0.98=0.99 (а.е.).d_\mathrm{min}=1.970-1\cdot (1-0.0167)=1.97-0.98=0.99\,(а.е.).

Ответ: q=1,97 а.е.;Q=2.84 а.е.;dmin=0.99 а.е.q=1,97\,а.е.; Q=2.84\,а.е.;d_\mathrm{min}=0.99\,а.е.