Контр. 6. Квадратная функция

1. Из данных функций выберите квадратную:

Вариант 1

а) $y=2x-6^2;$ в) $y=7x^2-1;$
б) $y=4x-x^3;$ г) $y=\sqrt{x}.$

Ответ: в) $y=7x^2-1;$

Вариант 2

а) $y=8x-2^2;$ в) $y=5x+x^3;$
б) $y=\sqrt{x};$ г) $y=2x^2+6x.$

Ответ: г) $y=2x^2+6x.$

2. Укажите координаты вершины параболы

Вариант 1

$y = -(x + 3)^2 - 1:$

а) $(-3;-1);$ г) $(-3;1);$
б) $(3;1);$ д) $(0;-1).$
в) $(3;-1);$  

Ответ: а) $(-3; -1).$

Вариант 2

$y = -(x + 3)^2 - 1:$

а) $(-4;-3);$ г) $(-4;3);$
б) $(4;3);$ д) $(0;-3);$
в) $(4;-3);$  

Ответ: б) $(4; 3).$

3. Укажите график функции, заданной формулой

Вариант 1

$y = x2 - 5$

Ответ: а) $(-3; -1).$

Вариант 2

$y = (x+3)^2$

Ответ: б) $(4; 3).$

4. Укажите неверное утверждение:

Вариант 1

а) графиком квадратной функци является парабола;
б) функция $y=\dfrac{x^2}{3}$ является квадратной;
в) Любая парабола пересекает ось ординат;
г) множеством значений квадратной функции является множество всех действительных чисел.

Ответ: г).

Вариант 2

а) областью определения квадратной функции является множество всех действительных чисел;
б) графиком квадратной функции является гипербола;
в) ось симметрии параболы параллельна оси абсцисс;
г) график квадратной функции пересекает ось ординат в двух точках.

Ответ: а).

5. Постройте график функции

Вариант 1

$y = x^2 - 4x + 3$

$x$ $-1$ $-\dfrac{1}{2}$ $0$ $\dfrac{1}{2}$ $1$
$y$ $8$ $5.25$ $3$ $-1.75$ $0$

Вариант 2

$y=x^2-6x+5$

$x$ $-1$ $-\dfrac{1}{2}$ $0$ $\dfrac{1}{2}$ $1$
$y$ $12$ $8.25$ $3$ $2.75$ $0$

6. С помощью графика функции из задания №5 найдите:

  1. значения аргумента, при которых значения функции отрицательны [2 в.: положительны];
  2. промежуток возрастания функции [2 в.:убывания];
  3. уравнение оси симметрии параболы [2 в.:множество значений функции].
  Вариант 1 Вариант 2
1 $(1; 3)$ $(-∞; 1) ν (5; +∞)$
2 $[2; +∞)$ $(-∞; 3]$
3 $x = 2$ $[-4; +∞)$

7. Найдите нули функции, график которой получен из графика функции $y = 2x^2$ [2в.: $y=3x^2$] смещением его на три [2в.: пять] единичных отрезка вправо [2в.: влево] вдоль оси абсцисс и на восемь [2в.: три] единичных отрезков вниз вдоль оси ординат.

Вариант 1

Смещённый график на три единицы вправо и восемь единиц вниз: $y = 2(x-3)^2 - 8.$ Построим этот график и найдём нули: $1; 5.$

Вариант 2

Смещённый график на пять единиц влево и три единицы вниз: $y = 3(x+5)^2 - 3.$ Построим этот график и найдём нули: $-4; -6.$

8. Графики функции $y = ax^2$ и $y = 5 - x$ [2 в.: $y=ax^2$ и $y=1-2x$] пересекаются в точке $(2; 3)$ [2 в.: $(2;-3)$]. Найдите координаты второй точки пересечения этих графиков.

Вариант 1

$3 = 4a\, (2; 3).$
$a = \dfrac{3}{4},$
$\dfrac{3}{4} ⋅ x^2 = 5 - x,$
$3x^2 + 4x - 20 = 0.$

Находим дискриминант:

$D = 16 + 240 = 256,$
$x = \dfrac{-4 ± 16}{6},$
$x = -\dfrac{10}{3}, x = 2,$
$y = 5 + \dfrac{10}{3} = \dfrac{25}{3}.$

Ответ: $(-\dfrac{10}{3}; \dfrac{25}{3}).$

Вариант 2

$-3 = 4a\, (2; -3),$
$a = -\dfrac{3}{4},$
$-\dfrac{3}{4} ⋅ x^2 = 1 - 2x,$
$\dfrac{3}{4} ⋅ x^2 - 2x + 1 = 0.$

Находим дискриминант:

$D = 4 -3 = 1,$
$x = \dfrac{2 ± 1}{\dfrac{3}{2}},$
$x = 2, x = \dfrac{2}{3},$
$y = 1 - 2 ⋅ \dfrac{2}{3} = -\dfrac{1}{3},$

Ответ: $(\dfrac{2}{3}; -\dfrac{1}{3}).$

9.

Вариант 1

Найдите два числа, сумма которых равна 82, а произведение — наибольшее из возможных.

$x + y = 82;$
$y = 82 - x;$

$x ⋅ y = x ⋅ (82 - x)$ $= -x^2 + 82x$ $= -x^2+82x - 41^2 + 41^2$ $= -(x-41)^2 + 41^2 ≤ 41^2$ при $x є R.$

Наибольшее значение при $x = 41,$ при $y = 41.$

Вариант 2

Найдите два числа, разность которых равна 20, а произведение — наименьшее из возможных.

$x - y = 20;$
$x = y = 20;$

$x ⋅ y = (y+20) ⋅ y$ $= y^2 +20y$ $= y^2 +20y +100 - 100$ $= (y +10)^2 - 100 ≥ -100$ при $x є R.$

Наименьшее значение при $x = 10,$ при $y = -10.$

10. Постройте график функции:

Вариант 1

$y=\sqrt{x^2+8x^2+16x^2};$
$y=\sqrt{(x^2+4x)^2};$
$y=|x^2+4x|.$

Вариант 2

$y=\sqrt{x^4-6x^3+9x^2};$
$y=\sqrt{(x^2-3x)^2};$
$y=|x^2-3x|.$