Контр. 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника

1. Укажите номер верного утверждения.

Вариант 1

Если $∠A=137°,$ то:

а) $\cos ∠A=0;$ в) $\cos ∠A>0;$
б) $\sin ∠A<0;$ г) $\cos ∠A<0.$

Ответ: г) $\cos ∠A<0.$

Вариант 2

Если $∠M=149°,$ то:

а) $\cos ∠M>0;$ в) $\cos ∠M=0;$
б) $\cos ∠M<0;$ г) $\sin ∠M<0.$

Ответ: б) $\cos ∠M<0.$

2. Укажите верное равенство:

Вариант 1

а) $a^2=b^2+c^2-2bc·\cos \alpha;$
б) $b^2=a^2+c^2-2ac·\cos \alpha;$
в) $c^2=a^2+b^2-2ab·\cos \alpha.$

Ответ: $a^2=b^2+c^2-2bc·\cos \alpha.$

Вариант 2

а) $a^2=b^2+c^2-2bc·\cos \beta;$
б) $c^2=a^2+b^2-2ab·\cos \beta;$
в) $b^2=a^2+c^2-2ac·\cos \beta.$

Ответ: $b^2=a^2+c^2-2ac·\cos \beta.$

3. В треугольнике две стороны равны $3$ см и $14$ см [2 в.: $5$ см и $12$ см], а синус угла между ними равен $\dfrac{3}{7}$ [2 в.: $\dfrac{2}{5}$]. Найдите площадь данного треугольника.

Вариант 1

$S = \dfrac{1}{2} · a · b · \sin γ$ $= \dfrac{1}{2} · 3 · 14 · \dfrac{3}{7} = 9\,($см$^2).$

Вариант 2

$S = \dfrac{1}{2} · a · b · \sin γ$ $= \dfrac{1}{2} · 5 · 12 · \dfrac{2}{5} = 12\,($см$^2).$

4. В треугольнике одна из сторон равна $8\sqrt{3}$ [2 в.: $7\sqrt{2}$], а противолежащий ей угол равен $60°$ [2 в.: $45°$]. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Вариант 1

$R = \dfrac{a}{2\sin α}$ $= \dfrac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8\,(см).$

Вариант 2

$R = \dfrac{a}{2\sin α} = \dfrac{7\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 7\,(см).$

5. Используя данные рисунка, вычислите длину стороны $NM.$

Вариант 1

  1. $∠MKN = 180° - 60° = 120°$ (смежные углы);
  2. $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc · \cos α$ $= 9 + 16 - 24 · -\dfrac{1}{2}$ $= 25 + 12 = 37;$ $a = \sqrt{37}.$

Вариант 2

  1. $∠MKN = 180° - 60° = 120°$ (смежные углы);
  2. $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc · \cos α$ $= 25 + 16 - 40 · -\dfrac{1}{2}$ $= 41 + 20 = 61;$ $a = \sqrt{61}.$

6. Используя данные рисунка, вычислите длину стороны $KE$ [2 в.: $KF$].

Вариант 1

  1. $∠KFE = 180° - (135° + 15) = 30°;$
  2. $\dfrac{a}{\sin α} = \dfrac{b}{\sin β}$ $= \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$ $= \dfrac{KE}{\dfrac{1}{2}};$
  3. $KE = \dfrac{\sqrt{2} · \dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = 1.$

Вариант 2

  1. $∠KEF = 180° - (135° + 15) = 30°;$
  2. $\frac{a}{\sin α} = \dfrac{b}{\sin β}$ $= \dfrac{2\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$ $= \dfrac{KF}{\dfrac{1}{2}};$
  3. $KF = \dfrac{2\sqrt{2} · \dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = 2.$

7. Стороны треугольника равны $5$ см, $7$ см и $8$ см [2 в.: $3$ см, $7$ см и $8$ см]. Найдите угол, лежащий против средней по величине стороны треугольника.

Вариант 1

$7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 · 5 · 8 · \cos α,$
$49 = 25 + 64 - 80 · \cos α,$
$80 · \cos α = 40,$
$\cos α = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2},$
$α = 60°.$

Вариант 2

$7^2 = 3^2 + 8^2 - 2 · 3 · 8 · \cos α,$
$49 = 9 + 64 - 48 · \cos α,$
$48 · \cos α = 24,$
$\cos α = \dfrac{24}{48} = \dfrac{1}{2},$
$α = 60°.$

8. Диагональ $AC$ [2 в.: $BD$] параллелограмма $ABCD$ равна $12$ см [2 в.: $8$ см] и составляет со стороной $AD$ [2 в.: $AB$], равной $8$ см [2 в.: $6$ см], угол в $30°$ [2 в.: $60°$]. Найдите площадь параллелограмма $ABCD.$

Вариант 1

  1. Дополнительное построение: $CH$ — высота $ABCD;$ $ΔACH$ — прямоугольный, $∠CAH = 30°,$ значит $CH = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$ (см);
  2. $S_{ABCD} = CH · AD$ $= 6 · 8 = 48\,(см^2).$

Ответ: $48\,см^2.$

Вариант 2

  1. Дополнительное построение: $DH$ — высота $BCDA;$ $∠BDH = 180° - 60° = 30°,$ значит $BH = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\,(см);$
  2. $DH^2 = BD^2 - BH^2$ $= 64 - 16 = 48;$ $BH = 4\sqrt{3}\,(см);$
  3. $S_{ABCD} = BH · BA = 4\sqrt{3} · 6$ $= 24\sqrt{3}\, (см^2).$

Ответ: $24\sqrt{3}\, см^2.$

9. Диагональ равнобедренной трапеции равна $4\sqrt{5}$ [2 в.: $2\sqrt{7}$] и образует с основанием угол в $15°$ [2 в.: $75°$]. Найдите площадь трапеции.

Вариант 1

$S = \dfrac{1}{2} · d_1 · d_2 · \sin α.$

Вариант 2

$S = \dfrac{1}{2} · d_1 · d_2 · \sin α.$

10. В треугольнике $CDE$ $CD = 12$ см, $DE = 15$ см, $CE = 18$ см, $DK$ — биссектриса треугольника $CDE.$ Найдите длину отрезка $DK.$ [2 в.: В треугольнике $MPK$ $MK = 8$ см, $KP = 12$ см, $MP = 15$ см, $KO$ — биссектриса треугольника $MPK.$ Найдите длину отрезка $KO.$]

Вариант 1

  1. По теореме о биссектрисе угла найдём $CK = 8$ см и $KE = 10$ см ($CK:CD = EK:ED$).
  2. В треугольнике $CDE$ по теореме косинусов получим, что $\cos ∠E = \dfrac{3}{4}$ (т.к. $\cos α = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$).
  3. Применим теорему косинусов в треугольнике $DKE$ и найдём $DK = 10$ см.

Ответ: $10$ см.

Вариант 2

  1. По теореме о биссектрисе угла найдём $PO = 9$ см и $OM = 6$ см ($OM:MK = OP:PK$).
  2. Воспользуемся формулой длины биссектрисы треугольника и получим $OK^2 = KM · KP - MO · OP;$ $OK^2 = 8 · 12 - 6 · 9 = 42;$ $OK = \sqrt{42}$ см (биссектриса равна $\sqrt{MK · PK - MO · PO}.$

Ответ: $KO = \sqrt{42}$ см.