Урок 11. Движение космических аппаратов

1. Запишите формулы, по которым определяют значения космических скоростей для поверхности земли, и объясните входящие в них величины

Космическая скорость Формула Величины, обозначенные в формулах буквами Скорости, км/с
Первая $v_1=\dfrac{GM_Л}{r_Л}$ $v_1$ — первая космическая скорость, $v_2$ — вторая космическая скорость, $v_3$ — третья космическая скорость, $v_{зем}$ — скорость Земли по орбите вокруг Солнца, $r$ — радиус Земли, $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли $7.9$
Вторая $v_2=\dfrac{GM}{r};$ $v_1=\sqrt{2}·v_1$ $11.2$
Третья* $v_3=\sqrt{v^2_2+\left(\sqrt{2}-1\right)·v^2_{зем}}$ $16.7$

Проанализируйте записанные формулы и сделайте выводы.

Космические скорости для поверхностей других небесных тел зависят от масс небесных тел и их радиусов.

Траекторией движения тел является:

  • а) окружность
  • б) парабола относительно Земли
  • в) гипербола относительно Земли и парабола относительно Солнца

2. Рассчитайте первую (а) и вторую (б) космические скорости для Луны (масса Луны $m = 7.35·10^{22}$ кг, а её радиус $R = 1740$ км)

Решение:

а) первая космическая скорость для Луны:

$v_1=\sqrt{\dfrac{GM_Л}{r_Л}};$ $v_1=\sqrt{\dfrac{6,67·10^{-11}·7,35·10^{22}}{1,74·10^6}}=1680$ м/с.

Ответ: $16,8$ км/с

б) вторая космическая скорость для Луны:

$v_1=\sqrt{2}·v_1;$ $v_1=\sqrt{2}·1,68=2,38$ км/с

Ответ: $2,38$ км/с

3. Может ли период обращения искусственного спутника Земли, движущегося по законам Кеплера, быть $T = 81$ мин? Ответ аргументируйте

Нет, так как наименьший период обращения искусственного спутника Земли равен $84,4$ мин, что видно из следующего расчёта:

$T=\dfrac{2\pi R_3}{v_1};$ $T=\dfrac{2\pi·6370 км}{7,9 км/с}=5066$ с ($84,4$ мин)

4. Дайте определение понятиям

Орбита — траектория, по которой движется небесное тело в космическом пространстве в поле тяготения других небесных тел и их систем.

Апогей — наиболее удалённая от Земли точка орбиты Луны или искусственного спутника Земли.

Перигей — ближайшая к Земле точка орбиты Луны или искусственного спутника Земли.

Эксцентриситет орбиты — мера сплюснутости эллипса, равная отношению расстояния между фокусами к большей оси эллипса.

5. Укажите формы орбит небесных тел, если их эксцентриситеты принимают следующие значения

Значение эксцентриситета Форма орбиты
$e = 0$ Окружность
$e = 1$ Парабола
$e > 0$ Гипербола
$0 < e < 1$ Эллипс

6. Рассчитайте время полёта по полуэллиптической орбите: а) до Марса; б) до Венеры

Решение.

а)

Дано: Решение:

$a_М=1,52$ а.е.,
$a_3=1$ а.е.,
$T_3=1$ год.

$\dfrac{T^2}{T^3}=\dfrac{a^2}{a^3_3};$ $t=\dfrac{T}{2};$ $a=\dfrac{a_М+a_3}{2};$

$a=1,26$ а.е.; $t=\dfrac{1}{2}a\sqrt{a};$
$t=\dfrac{1}{2}·1,26\sqrt{1,26}=0,71;$

$t-?$ Ответ: $0,71$ года, или $285$ дней.


б)

Дано: Решение:

$a_З=1$ а.е.,
$a_В=0,72$ а.е.,
$T_З=1$ год.

$t=\dfrac{T}{2};$ $a=\dfrac{a_В+$a_З}{2};$
$a_3=\dfrac{1}{2}(0,72+1)=0,86$ а.е.;
$t=\dfrac{1}{2}a\sqrt{a};$ $t=\dfrac{1}{2}0,86\sqrt{0,86}-0,4$ года
$t-?$ Ответ: $0,4$ года, или $146$ дней.