§ 8. Законы Кеплера

1. Сформулируйте законы Кеплера.

Первый закон Кеплера. Все планеты обращаются по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

Второй закон Кеплера. Радиус-вектор планеты (линия, соединяющая центр Солнца с центром планеты) за равные промежутки времени описывает равновеликие площади.

Третий закон Кеплера. Квадраты сидерических периодов обращения двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит: 

$$\dfrac{T^2_1}{T^2_2}=\dfrac{a^3_1}{a^3_2}.$$

2. У Земли эксцентриситет орбиты равен 0,017, а у Марса — 0,093. Орбита какой из планет наиболее вытянута?

Наиболее вытянута орбита Марса.

3. Во сколько раз афелийное расстояние больше перигелийного расстояния, если эксцентриситет орбиты равен 0,5?

Найдём отношение $Q/q$ из формул:

$$q=a(1-e),$$

$$Q=a(1+e).$$

Получим, что в 3 раза.

4. Меняется ли скорость планеты, движущейся по эллиптической орбите? круговой орбите?

Согласно второму закону Кеплера, скорость планеты будет меняться при движении по эллиптической орбите.

5. Считая орбиты Земли и Марса круговыми, рассчитайте продолжительность года на Марсе. При решении задачи учтите, что Марс находится от Солнца дальше, чем Земля, в 1,5 раза.

Из условия задачи получим, что большая полуось орбиты Марса $a=1.5$ а.е. Тогда из третьего закона Кеплера, приняв для Земли $a=1$ а.е. и $T=1$ год, получим для Марса:

$$T=\sqrt{a^3}.$$

Произведя вычисления, найдём значение $T = 1.8$ года.